Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{c}x+y+z+w=0 \\\\ 2 x+3 y-z-w=2 \\\\ 3 x+2 y+z+w=5 \\\\ 3 x+6 y-z-w=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas
\begin{cases} x + y + z + w = 0,\\\\ 2x + 3y - z - w = 2,\\\\ 3x + 2y + z + w = 5,\\\\ 3x + 6y - z - w = 4, \end{cases}
e pede para obter a forma escada da matriz dos coeficientes e da matriz ampliada, calcular seus postos (ranks) e, se houver solução, o grau de liberdade.
O conteúdo é eliminação de Gauss: a cada passo escolhemos um pivô, zeramos abaixo e lemos o número de pivôs como posto. Se o posto da ampliada for maior que o da coeficiente, o sistema é incompatível.

Passo 2

Formamos a matriz ampliada inicial
[A\mid b] = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &\!\mid\!& 0\\\\ 2 & 3 & -1 & -1 &\!\mid\!& 2\\\\ 3 & 2 & 1 & 1 &\!\mid\!& 5\\\\ 3 & 6 & -1 & -1 &\!\mid\!& 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos o pivô a_{11}=1 (linha 1) para zerar abaixo:
  • L_2\gets L_2-2L_1
  • L_3\gets L_3-3L_1
  • L_4\gets L_4-3L_1
Fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &\!\mid\!& 0\\\\ 0 & 1 & -3 & -3 &\!\mid\!& 2\\\\ 0 & -1 & -2 & -2 &\!\mid\!& 5\\\\ 0 & 3 & -4 & -4 &\!\mid\!& 4 \end{pmatrix}.

Passo 4

Usamos o pivô a_{22}=1 (linha 2) para zerar abaixo na coluna 2:
  • L_3\gets L_3+L_2
  • L_4\gets L_4-3L_2
Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &\!\mid\!& 0\\\\ 0 & 1 & -3 & -3 &\!\mid\!& 2\\\\ 0 & 0 & -5 & -5 &\!\mid\!& 7\\\\ 0 & 0 & 5 & 5 &\!\mid\!& -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Usamos o pivô a_{33}=-5 (linha 3) para zerar abaixo na coluna 3:
  • L_4\gets L_4+L_3
Então
[A\mid b]\;\to\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 &\!\mid\!& 0\\\\ 0 & 1 & -3 & -3 &\!\mid\!& 2\\\\ 0 & 0 & -5 & -5 &\!\mid\!& 7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\!\mid\!& 5 \end{pmatrix}.
A última linha diz 0x+0y+0z+0w=5, ou seja 0=5, contradição.

Passo 6

A forma escada da matriz de coeficientes é
A\sim \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & -3 & -3\\\\ 0 & 0 & -5 & -5\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
posto \,(A)=3.
A forma escada da matriz ampliada mostra uma linha inconsistente, portanto posto \,(A\mid b)=4.
Como \mathrm{rank}(A\mid b)>\mathrm{rank}(A), o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema não admite solução (é incompatível).
posto da matriz dos coeficientes: 3.
posto da matriz ampliada: 4.
grau de liberdade: não se aplica (sem soluções).

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