Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\frac{d x}{d t}=-6 x+5 y, \quad \frac{d y}{d t}=-5 x+4 y

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear de EDOs de coeficientes constantes
\frac{dx}{dt} = -6x + 5y,\quad \frac{dy}{dt} = -5x + 4y.
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares via forma matricial, encontrando autovalores e autovetores (e, no caso de raiz dupla, vetor generalizado).

Passo 2

Escrevendo em forma matricial \mathbf{X}' = A\mathbf{X} com
A = \begin{pmatrix}-6 & 5 \\[6pt] -5 & 4\end{pmatrix},
o polinômio característico é
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}-6-\lambda & 5 \\[3pt] -5 & 4-\lambda\end{pmatrix} = (-6-\lambda)(4-\lambda)-5(-5) = \lambda^2 + 2\lambda + 1 = (\lambda + 1)^2.
Logo há autovalor \lambda = -1 de multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Buscamos primeiro o autovetor v resolvendo (A+I)v=0:
A+I = \begin{pmatrix}-5 & 5 \\[3pt] -5 & 5\end{pmatrix},
daí -5v_1 + 5v_2 = 0 implica v_1 = v_2. Podemos escolher
v = \begin{pmatrix}1 \\[3pt] 1\end{pmatrix}.
]

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado w tal que
(A+I)w = v.
Isto é -5w_1 + 5w_2 = 1. Uma solução conveniente é w_1=0, w_2=\tfrac{1}{5}, ou
w = \begin{pmatrix}0 \\[3pt] \tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
]

Passo 5

Para raiz dupla com um único autovetor, a solução geral é
\mathbf X(t) = C_1 e^{-t}v \;+\; C_2\bigl(te^{-t}v + e^{-t}w\bigr).
Escrevendo em componentes,
x(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t}, \qquad y(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t} + \tfrac{C_2}{5}e^{-t}.

Resposta

x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-t}, \qquad y(t) = \Bigl(C_1 + C_2\,t + \tfrac{C_2}{5}\Bigr)e^{-t},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

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