Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
\mathbf{X}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & -8 \\\\ 1 & -3\end{array}\right) \mathbf{X}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de coeficientes constantes
\mathbf X' = A\,\mathbf X, \quad A = \begin{pmatrix}1 & -8 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.
O conteúdo é solução de sistemas de EDOs com matriz constante. Vamos encontrar os autovalores de A, os autovetores complexos e, em seguida, obter duas soluções reais independentes para escrever a solução geral.]

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}1-\lambda & -8 \\[4pt]1 & -3-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-3-\lambda) - (-8)\cdot1.
Expandindo,
(1-\lambda)(-3-\lambda) + 8 = (\lambda^2 +2\lambda -3) + 8 = \lambda^2 +2\lambda +5.]

Passo 3

As raízes do polinômio \lambda^2 +2\lambda +5=0 são
\lambda = -1 \pm 2\,\mathrm i.
São autovalores complexos conjugados.

Passo 4

Para \lambda = -1+2\mathrm i, resolvemos (A-\lambda I)\mathbf v=0.
A primeira linha dá
(2-2\mathrm i)\,v_1 \;-\;8\,v_2 =0 \;\implies\; v_1 = (2+2\mathrm i)\,v_2.
Escolhendo v_2=1, um autovetor é
\mathbf v = \begin{pmatrix}2+2\mathrm i \\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução complexa associada é
\mathbf X_c(t)=e^{(-1+2\mathrm i)t}\,\mathbf v.
Escrevendo e^{(-1+2\mathrm i)t}=e^{-t}(\cos2t +\mathrm i\sin2t) e separando parte real e imaginária, obtemos duas soluções reais independentes:
\mathbf X_1(t) = e^{-t} \begin{pmatrix} 2\cos2t -2\sin2t \\[4pt] \cos2t \end{pmatrix}, \quad \mathbf X_2(t) = e^{-t} \begin{pmatrix} 2\sin2t +2\cos2t \\[4pt] \sin2t \end{pmatrix}.
Portanto, a solução geral é combinação linear delas.]

Resposta

A solução geral do sistema é
\mathbf X(t) = C_1\,e^{-t} \begin{pmatrix} 2\cos2t -2\sin2t \\[4pt] \cos2t \end{pmatrix} \;+\; C_2\,e^{-t} \begin{pmatrix} 2\sin2t +2\cos2t \\[4pt] \sin2t \end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.]

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