Questão 3. Resolva os sistemas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de coeficientes constantes
O conteúdo é solução de sistemas de EDOs com matriz constante. Vamos encontrar os autovalores de
, os autovetores complexos e, em seguida, obter duas soluções reais independentes para escrever a solução geral.]
Passo 2
Escrevemos o polinômio característico de
:
Expandindo,
Passo 3
As raízes do polinômio
são
São autovalores complexos conjugados.
Passo 4
Para
, resolvemos
.
A primeira linha dá
A primeira linha dá
Escolhendo
, um autovetor é
Passo 5
A solução complexa associada é
Escrevendo
e separando parte real e imaginária, obtemos duas soluções reais independentes:
Portanto, a solução geral é combinação linear delas.]
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias.]