O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea com condições iniciais usando a transformada de Laplace. As informações dadas são:
A equação diferencial: y''+3y'+2y=f(t).
Condições iniciais: y(0)=0,\quad y'(0)=0.
A função de entrada é a peça por peça: f(t)=\begin{cases}1, & 0\le t<10,\\[4pt] 0, & t\ge 10.\end{cases}
As perguntas implícitas (o que devemos obter):
Encontrar a solução y(t) para todo t\ge0 usando transformada de Laplace.
Como f(t) é peça por peça, devemos obter y(t) em forma apropriada (normalmente uma expressão que use o degrau unitário ou uma expressão em partes).]
Passo 2
Primeiro, escrevemos f(t) usando a função degrau unitário (função de Heaviside) para poder aplicar a transformada de Laplace facilmente. A função degrau deslocada u(t-a) vale 0 para t<a e 1 para t\ge a. Assim, para nossa f(t) podemos escrever
f(t)=1 - u(t-10).
Explicando: \,1 é a função que vale 1 para t\ge0; subtraindo u(t-10) (que entra em t=10) fazemos com que a soma fique 1 até t=10 e 0 depois.
Passo 3
Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Vou lembrar e explicar a propriedade que precisamos:
Transformada da derivada primeira: \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e y(0) é a condição inicial em t=0.
Transformada da derivada segunda: \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0).
Aplicando \mathcal{L} em \,y''+3y'+2y=f(t)\, obtemos
Substituindo as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=0,\;y'(0)=0, isso vira
(s^2Y(s)-s\cdot0-0)+3(sY(s)-0)+2Y(s)=F(s),
ou seja
(s^2+3s+2)\,Y(s)=F(s).
Passo 4
Agora calculamos F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}. Como escrevemos f(t)=1-u(t-10), usamos linearidade:
\mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s} (válido para \Re(s)>0).
Transformada do degrau deslocado: \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}. (Em geral, \mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-as}G(s). Para g\equiv1 temos a fórmula acima.)
Vou comentar o que essa função representa de forma intuitiva: é a resposta do sistema (com condições iniciais nulas) quando a entrada é f(t)=1 para sempre. É uma combinação de constantes e exponenciais decrescentes — típico de sistemas lineares estáveis.
Passo 8
Voltando a Y(s)=H(s)-e^{-10s}H(s), pela linearidade da transformada inversa obtemos
y(t)=h(t) - u(t-10)\,h(t-10).
Isso é uma forma compacta e correta; agora vamos escrever explicitamente em partes (porque é mais prático na prova):
Se quiser, reorganizamos os expoentes lembrando que e^{-(t-10)}=e^{10}e^{-t} e e^{-2(t-10)}=e^{20}e^{-2t}, mas geralmente é mais claro deixar na forma com t-10.
Passo 9
Vou fazer uma pequena verificação de continuidade em t=10 (útil para prova): a solução no instante t=10^- é y(10^-)=h(10). Pela fórmula para t\ge10 temos y(10^+)=h(10)-h(0). E h(0)=\tfrac12-1+\tfrac12=0. Logo y(10^+)=h(10)-0=h(10)=y(10^-). Portanto y(t) é contínua em t=10 (coerente com a solução física do sistema de segunda ordem com entrada descontínua).