Questão 2. Resolva usando a transformada de LAPLACE.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais usando transformada de Laplace. Escrevo claramente o que foi dado e o que se pede:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
- Pergunta: encontrar
para todo , isto é, a solução da equação com essas condições.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
é a função degrau unitário que “liga” em . Assim o lado direito é a função que vale para e vale para . (Só anotei isso para intuir o comportamento; a resolução seguirá pela Laplace.) - As condições iniciais são nulas, o que simplifica as transformadas das derivadas.
Passo 2
Breve aula: transformada de Laplace e propriedades que usaremos.
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável da transformada (complexa em geral). Aqui vou usar só propriedades básicas sem aprofundar a teoria.
- Propriedade para derivadas (muito útil): se
, então
Essas fórmulas permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em
.
- Teorema do degrau (deslocamento exponencial): se
tem transformada , então
No nosso problema aparecerá exatamente um termo do tipo
.
- Transformadas elementares que usaremos:
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace à equação inteira.
Começo aplicando
em ambos os lados da equação
Usando as condições iniciais
e
, a transformada do lado esquerdo é
onde
.
Agora o lado direito. Pela linearidade:
Sabemos
. Pelo teorema do degrau, com
e
(ou seja
corresponde a
), temos
Portanto, no domínio de
a equação fica
Isolando
:
Passo 4
Estratégia de volta ao domínio do tempo: separar em duas partes e usar inversa da Laplace com o teorema do deslocamento.
Escrevo
como diferença:
- A primeira parcela tem inversa direta:
. - A segunda parcela, por linearidade do deslocamento exponencial, dá
Logo, em tempo:
Agora precisamos achar explicitamente
.
Passo 5
Calcular
por frações parciais.
Queremos inverter
. Faço decomposição em frações parciais do tipo
Multiplicando ambos os lados por
obtemos (identidade de polinômios)
Desenvolvendo e agrupando coeficientes em potências de
:
- coeficiente de
: deve ser ; - coeficiente de
: deve ser ; - coeficiente de
: deve ser ; - termo independente:
deve ser .
Das equações:
. Então
. De
. Então
.
Portanto a decomposição é
Agora aplico inversas conhecidas:
pois
.
Logo
Passo 6
Volto à expressão geral encontrada:
com
.
Escrevo explicitamente em forma não ambígua:
Posso simplificar a expressão para
usando periodicidade do seno:
porque
é múltiplo de
. Assim, para
temos
Para
o termo com degrau é zero, então
Verificação rápida (pra te dar confiança): em
,
logo a solução é contínua; e a derivada também casa, então não há salto — tudo consistente.