Questão 4.

Seja 0<a<b\) e \[f(t)= \begin{cases}1, & \text { se } a \leq t \leq b \\\\ 0, & \text { se } t<a \text { ou } t>b\end{cases}
Expresse (f] em termos de funções escadas unitárias para mostrar que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{e^{-a s}-e^{-b s}}{s}

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(t)= \begin{cases} 1,&\text{se }a\le t\le b,\\\\ 0,&\text{se }t<a\text{ ou }t>b, \end{cases}
com 0<a<b, e pede para mostrar que
\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{e^{-a s}-e^{-b s}}{s}.
O conteúdo é transformada de Laplace e vamos usar funções escadas unitárias (Heaviside) para reescrever f.

Passo 2

Definimos a função escada unitária deslocada
u(t-c)= \begin{cases} 0,&t<c,\\\\ 1,&t\ge c. \end{cases}
Observe que a diferença
u(t-a)-u(t-b)
vale zero para t<a, vale 1 para a\le t<b e volta a ser zero para t\ge b. Logo podemos escrever
f(t)=u(t-a)-u(t-b).

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace de uma escada unitária deslocada é
\mathcal{L}\{u(t-c)\} =\int_{0}^{\infty}u(t-c)e^{-st}\,dt =\int_{c}^{\infty}e^{-st}\,dt =\left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_{t=c}^{t\to\infty} =\frac{e^{-c s}}{s}.

Passo 4

Usando a linearidade da transformada de Laplace em
f(t)=u(t-a)-u(t-b),
temos
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{u(t-a)\}-\mathcal{L}\{u(t-b)\} =\frac{e^{-a s}}{s}-\frac{e^{-b s}}{s} =\frac{e^{-a s}-e^{-b s}}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{e^{-a s}-e^{-b s}}{s}.

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