Use transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
\left\{\begin{aligned} y^{\prime \prime}+4 y & =0, \\\ y(0)=5, y^{\prime}(0) & =0,\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y''(t) + 4\,y(t) = 0, \quad y(0)=5,\;y'(0)=0,
e pede para resolver usando transformada de Laplace. Para isso vamos usar as propriedades \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s), \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados de \,y''(t)+4y(t)=0,
obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)+4\,Y(s)=0.

Passo 3

Substituindo y(0)=5 e y'(0)=0, temos
(s^2+4)\,Y(s)-s\cdot5=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{5s}{s^2+4}.

Passo 4

Para voltar ao domínio do tempo, usamos \mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac{s}{s^2+a^2}\bigr\}=\cos(at)
com a^2=4, a=2. Logo
y(t)=5\,\cos(2t).

Resposta

y(t)=5\cos(2t)

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