Questão 3 Seja f: R^2 R uma função diferenciável tal que
partial fpartial x(1,1)=1 e partial fpartial y(1,1)=2
Considere a função z(t)=f(t^4, t^2). Calcule z^prime(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função que depende de duas variáveis, e , e queremos calcular a derivada de uma nova função no ponto . Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia. Precisamos saber as derivadas parciais de em (1,1) e aplicar a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que queremos derivar:
z(t) = f(t^4, t^2)
Aqui, é uma função composta, onde passa por duas funções diferentes antes de entrar na função .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar z'(t) = partial fpartial x cdot ddt(t^4) + partial fpartial y cdot ddt(t^2) . A regra da cadeia para funções de várias variáveis diz que:
Basicamente, a derivada de em relação a é a soma das derivadas parciais de multiplicadas pelas derivadas das funções internas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  • A derivada de z'(t) = partial fpartial x cdot 4t^3 + partial fpartial y cdot 2t em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, substituindo:

Passo 5

Agora, vamos avaliar partial fpartial x(1,1) = 1 e partial fpartial y(1,1) = 2 no ponto z'(1) = 1 cdot 4(1)^3 + 2 cdot 2(1) = 4 + 4 = 8 . Sabemos que:
Substituindo :

Resposta

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