QUESTÃO 5: Seja
uma função utilidade onde
e
são as quantidades dos bens consumidas pelo indivíduo. Sabe-se que o preço do bem
é 2 e o preço do bem Y é 1. Além disso, a renda do indivíduo é 16. Pede-se:
a) A Taxa Marginal de Substituição.
b) A quantidade ótima de X e Y que maximiza a utilidade do indivíduo.
a) A Taxa Marginal de Substituição.
b) A quantidade ótima de X e Y que maximiza a utilidade do indivíduo.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas:
- Função utilidade:
, onde e são quantidades consumidas dos bens. - Preço do bem
: . - Preço do bem
: . - Renda (orçamento) do indivíduo:
. - Perguntas:
a) Calcular a Taxa Marginal de Substituição.
b) Encontrar as quantidades ótimas dee que maximizam a utilidade sujeitas ao orçamento.
Passo 2
Entender o que é Marginal: a “utilidade marginal” é quanto a utilidade muda quando eu aumento um bem, mantendo o outro fixo. Matematicamente, é a derivada parcial da utilidade em relação a cada bem.
Calculemos as utilidades marginais:
- Utilidade marginal do bem
: .
- Utilidade marginal do bem
: .
Explicação:
mede quanto
aumenta ao aumentar uma unidade de
mantendo
fixo; aqui cada aumento de
aumenta
em
.
Passo 3
Definição e cálculo da Taxa Marginal de Substituição (MRS): a MRS entre
e
mede quantas unidades de
o consumidor está disposto a ceder para ganhar uma unidade adicional de
mantendo o mesmo nível de utilidade. Uma forma prática de calcular é a razão das utilidades marginais:
Substituindo os
já calculados:
Observação sobre sinal e interpretação: a inclinação da curva de indiferença é
(ou seja,
), mas quando se pede a Taxa Marginal de Substituição tipicamente se fornece o valor positivo
indicando a taxa de troca.
Passo 4
Escrever a restrição orçamentária (dados do enunciado): o custo total das compras não pode exceder a renda. Assim:
Podemos isolar
para usar em métodos de otimização por substituição:
Explicação: cada unidade de
custa
unidades monetárias, cada unidade de
custa
, e o total gasto deve ser
.
Passo 5
Escolha do método para encontrar o ótimo (explicação didática): para maximizar
sujeito à restrição orçamentária há duas formas simples e equivalentes que eu vou mostrar (isso te ajuda a escolher na prova):
- Método A (regra do marginal por preço): em uma solução interior (onde
e ), o consumidor iguala a utilidade marginal por unidade monetária entre bens:
Isso significa que a última unidade de dinheiro gasto em cada bem gera a mesma utilidade marginal por real gasto.
- Método B (substituição direta): substituir
da restrição na função utilidade e maximizar uma função de uma variável com derivadas normais.
Vou aplicar primeiro o Método A (mais conceitual), e em seguida confirmar com o Método B (checagem).
Passo 6
Aplicando o Método A (igualdade
):
Escrevemos a condição:
Substituindo
,
,
,
:
Simplificando:
Agora juntamos com a restrição orçamentária
. Substituindo
:
Com
, obtemos
pela relação
:
Passo 7
Confirmando pelo Método B (substituição e derivada):
Substituímos
em
:
Derivada para maximizar:
Igualando a zero (condição necessária):
Calculamos
pela restrição:
Verificação de máximo (condição suficiente): segunda derivada
logo é máximo local (e como a função é quadrática negativa, é o máximo global na faixa admissível). Também
e
, solução interior válida.
Passo 8
Interpretação econômica curta e ânimo: a solução diz que, dado os preços e a renda, o consumidor gasta parte do orçamento em
e
de maneira que iguala a utilidade adicional por real gasto em cada bem. Achamos
e
. Você mandou bem ao pedir passo a passo — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova. Vai dar certo!
Resposta
a)
b)
b)