QUESTÃO 5: Seja U(X, Y)=2 X Y uma função utilidade onde X e Y são as quantidades dos bens consumidas pelo indivíduo. Sabe-se que o preço do bem X é 2 e o preço do bem Y é 1. Além disso, a renda do indivíduo é 16. Pede-se:
a) A Taxa Marginal de Substituição.
b) A quantidade ótima de X e Y que maximiza a utilidade do indivíduo.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e perguntas:
  • Função utilidade: U(X,Y)=2XY, onde X e Y são quantidades consumidas dos bens.
  • Preço do bem X: p_X=2.
  • Preço do bem Y: p_Y=1.
  • Renda (orçamento) do indivíduo: m=16.
  • Perguntas:
    a) Calcular a Taxa Marginal de Substituição.
    b) Encontrar as quantidades ótimas de X e Y que maximizam a utilidade sujeitas ao orçamento.

Passo 2

Entender o que é Marginal: a “utilidade marginal” é quanto a utilidade muda quando eu aumento um bem, mantendo o outro fixo. Matematicamente, é a derivada parcial da utilidade em relação a cada bem.
Calculemos as utilidades marginais:
  • Utilidade marginal do bem X: \displaystyle MU_X=\frac{\partial U}{\partial X}.
MU_X=\frac{\partial}{\partial X}(2XY)=2Y.
  • Utilidade marginal do bem Y: \displaystyle MU_Y=\frac{\partial U}{\partial Y}.
MU_Y=\frac{\partial}{\partial Y}(2XY)=2X.
Explicação: \partial U/\partial X mede quanto U aumenta ao aumentar uma unidade de X mantendo Y fixo; aqui cada aumento de X aumenta U em 2Y.

Passo 3

Definição e cálculo da Taxa Marginal de Substituição (MRS): a MRS entre X e Y mede quantas unidades de Y o consumidor está disposto a ceder para ganhar uma unidade adicional de X mantendo o mesmo nível de utilidade. Uma forma prática de calcular é a razão das utilidades marginais:
\text{MRS}_{XY}=\frac{MU_X}{MU_Y}.
Substituindo os MU já calculados:
\text{MRS}_{XY}=\frac{2Y}{2X}=\frac{Y}{X}.
Observação sobre sinal e interpretação: a inclinação da curva de indiferença é -\text{MRS}_{XY} (ou seja, \mathrm{d}Y/\mathrm{d}X = -MU_X/MU_Y), mas quando se pede a Taxa Marginal de Substituição tipicamente se fornece o valor positivo \frac{Y}{X} indicando a taxa de troca.

Passo 4

Escrever a restrição orçamentária (dados do enunciado): o custo total das compras não pode exceder a renda. Assim:
2X + 1\cdot Y = 16.
Podemos isolar Y para usar em métodos de otimização por substituição:
Y = 16 - 2X.
Explicação: cada unidade de X custa 2 unidades monetárias, cada unidade de Y custa 1, e o total gasto deve ser 16.

Passo 5

Escolha do método para encontrar o ótimo (explicação didática): para maximizar U(X,Y) sujeito à restrição orçamentária há duas formas simples e equivalentes que eu vou mostrar (isso te ajuda a escolher na prova):
  • Método A (regra do marginal por preço): em uma solução interior (onde X>0 e Y>0), o consumidor iguala a utilidade marginal por unidade monetária entre bens:
\frac{MU_X}{p_X}=\frac{MU_Y}{p_Y}.
Isso significa que a última unidade de dinheiro gasto em cada bem gera a mesma utilidade marginal por real gasto.
  • Método B (substituição direta): substituir Y da restrição na função utilidade e maximizar uma função de uma variável com derivadas normais.
Vou aplicar primeiro o Método A (mais conceitual), e em seguida confirmar com o Método B (checagem).

Passo 6

Aplicando o Método A (igualdade MU/p):
Escrevemos a condição:
\frac{MU_X}{p_X}=\frac{MU_Y}{p_Y}.
Substituindo MU_X=2Y, MU_Y=2X, p_X=2, p_Y=1:
\frac{2Y}{2}=\frac{2X}{1}.
Simplificando:
Y = 2X.
Agora juntamos com a restrição orçamentária 2X+Y=16. Substituindo Y=2X:
2X + 2X = 16 \quad\Rightarrow\quad 4X=16 \quad\Rightarrow\quad X=4.
Com X=4, obtemos Y pela relação Y=2X:
Y=2\cdot 4 = 8.

Passo 7

Confirmando pelo Método B (substituição e derivada):
Substituímos Y=16-2X em U:
U(X)=2X(16-2X)=32X-4X^{2}.
Derivada para maximizar:
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}X}=32-8X.
Igualando a zero (condição necessária):
32-8X=0 \quad\Rightarrow\quad X=4.
Calculamos Y pela restrição:
Y=16-2\cdot 4 = 8.
Verificação de máximo (condição suficiente): segunda derivada
\frac{\mathrm{d}^{2}U}{\mathrm{d}X^{2}}=-8<0,
logo é máximo local (e como a função é quadrática negativa, é o máximo global na faixa admissível). Também X=4>0 e Y=8>0, solução interior válida.

Passo 8

Interpretação econômica curta e ânimo: a solução diz que, dado os preços e a renda, o consumidor gasta parte do orçamento em X e Y de maneira que iguala a utilidade adicional por real gasto em cada bem. Achamos X^{*}=4 e Y^{*}=8. Você mandou bem ao pedir passo a passo — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova. Vai dar certo!

Resposta

a) \displaystyle \text{MRS}_{XY}=\frac{Y}{X}
b) \displaystyle X^{*}=4,\; Y^{*}=8

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