QUESTÃO 4: Considere a função
sujeita a restrição
. Ache o ponto que maximiza a função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
sujeita à restrição linear
.
O que nos pede: encontrar o ponto que maximiza
(ou seja, o par de valores de
e
que torna
máximo), e o valor máximo de
se for conveniente calcular.
O que nos pede: encontrar o ponto
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos usar a restrição para reduzir o problema a uma variável só (isso é prático na prova). Da restrição temos:
Substituímos
em
. Primeiro escrevo os termos com
:
Agora coloco tudo em
:
Passo 3
Faço a álgebra passo a passo para simplificar
.
Calculo .
Calculo .
Substituindo:
Calculo
Calculo
Substituindo:
Agora distribuo o sinal e somo termos semelhantes:
Agrupando constantes, termos em
e termos em
:
Para ficar claro: aqui
,
,
na forma quadrática padrão
.
Passo 4
Explico a teoria rápida: uma função quadrática
com
é côncava para baixo e tem um único máximo global no vértice. A abscissa do vértice é dada pela fórmula
Aqui
e
. Substituindo:
Portanto o candidato a máximo é
.
Passo 5
Verificação via derivada (outra forma de pensar, útil na prova): calcule a derivada de
,
Igualando a zero para pontos críticos:
E a segunda derivada é
logo é de fato um máximo. (Explicação: segunda derivada negativa indica concavidade para baixo.)
Passo 6
A partir de
uso a restrição para obter
:
Logo o ponto candidato é
.
Passo 7
Calculo o valor máximo de
nesse ponto para ficar completo (útil na prova para justificar):
Então o valor máximo de
é
alcançado em
.
Passo 8
Confirmação alternativa (método de completar quadrado, que às vezes é mais elegante): parto de
Completo o quadrado dentro do parêntese:
Assim
Dessa forma fica claro que o máximo ocorre quando
, ou seja
, e o máximo é
. Dá o mesmo resultado, ótimo para conferir.