QUESTÃO 4: Considere a função Z=4 X-X^{2}+16 Y-Y^{2} sujeita a restrição X+ Y=4. Ache o ponto que maximiza a função Z.

Passo 1

O enunciado dá a função Z = 4X - X^{2} + 16Y - Y^{2} sujeita à restrição linear X + Y = 4.
O que nos pede: encontrar o ponto (X,Y) que maximiza Z (ou seja, o par de valores de X e Y que torna Z máximo), e o valor máximo de Z se for conveniente calcular.
Informações relevantes dadas:
Z = 4X - X^{2} + 16Y - Y^{2}, \qquad X + Y = 4.

Passo 2

Vamos usar a restrição para reduzir o problema a uma variável só (isso é prático na prova). Da restrição temos:
Y = 4 - X.
Substituímos Y em Z. Primeiro escrevo os termos com Y:
16Y - Y^{2} = 16(4 - X) - (4 - X)^{2}.
Agora coloco tudo em Z:
Z(X) = 4X - X^{2} + 16(4 - X) - (4 - X)^{2}.

Passo 3

Faço a álgebra passo a passo para simplificar Z(X).
Calculo 16(4 - X) = 64 - 16X.
Calculo (4 - X)^{2} = 16 - 8X + X^{2}.
Substituindo:
Z(X) = 4X - X^{2} + (64 - 16X) - (16 - 8X + X^{2}).
Agora distribuo o sinal e somo termos semelhantes:
Z(X) = 4X - X^{2} + 64 - 16X - 16 + 8X - X^{2}.
Agrupando constantes, termos em X e termos em X^{2}:
Z(X) = (-2)X^{2} + (-4)X + 48.
Para ficar claro: aqui a = -2, b = -4, c = 48 na forma quadrática padrão Z(X) = aX^{2} + bX + c.

Passo 4

Explico a teoria rápida: uma função quadrática Z(X)=aX^{2}+bX+c com a<0 é côncava para baixo e tem um único máximo global no vértice. A abscissa do vértice é dada pela fórmula
X_{\text{v}} = -\frac{b}{2a}.
Aqui a=-2 e b=-4. Substituindo:
X_{\text{v}} = -\frac{-4}{2\cdot(-2)} = -\frac{4}{-4} = -1.
Portanto o candidato a máximo é X=-1.

Passo 5

Verificação via derivada (outra forma de pensar, útil na prova): calcule a derivada de Z(X),
\frac{dZ}{dX} = \frac{d}{dX}\bigl(-2X^{2}-4X+48\bigr) = -4X - 4.
Igualando a zero para pontos críticos:
-4X - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad X = -1.
E a segunda derivada é
\frac{d^{2}Z}{dX^{2}} = -4 < 0,
logo é de fato um máximo. (Explicação: segunda derivada negativa indica concavidade para baixo.)

Passo 6

A partir de X=-1 uso a restrição para obter Y:
Y = 4 - X = 4 - (-1) = 5.
Logo o ponto candidato é (X,Y)=(-1,5).

Passo 7

Calculo o valor máximo de Z nesse ponto para ficar completo (útil na prova para justificar):
Z(-1,5) = 4(-1) - (-1)^{2} + 16\cdot 5 - 5^{2} = -4 - 1 + 80 - 25 = 50.
Então o valor máximo de Z é 50 alcançado em (X,Y)=(-1,5).

Passo 8

Confirmação alternativa (método de completar quadrado, que às vezes é mais elegante): parto de
Z(X) = -2X^{2} - 4X + 48 = -2\bigl(X^{2} + 2X\bigr) + 48.
Completo o quadrado dentro do parêntese:
X^{2} + 2X = (X+1)^{2} - 1.
Assim
Z(X) = -2\bigl((X+1)^{2} - 1\bigr) + 48 = -2(X+1)^{2} + 2 + 48 = -2(X+1)^{2} + 50.
Dessa forma fica claro que o máximo ocorre quando (X+1)^{2}=0, ou seja X=-1, e o máximo é 50. Dá o mesmo resultado, ótimo para conferir.

Resposta

(X,Y)=(-1,5) com Z_{\max}=50

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