1* Questāo: Seja g uma funçāo diferenciável de uma variável e seja
z=f(x, y)=g(x y)
Mostre que z satisfaz à equaçāo
x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=0

Passo 1

O enunciado dá que g é uma função diferenciável de uma variável e define
z = f(x,y) = g(xy).
A pergunta é: mostrar que z satisfaz a igualdade
x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} = 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • g é diferenciável (portanto sua derivada g' existe nos pontos considerados).
  • A função z é a composição de g com a função h(x,y)=xy, ou seja, z(x,y)=g(h(x,y)).

Passo 2

Vou usar a regra da cadeia para derivadas parciais de uma composição. Explico com calma o que ela diz: se z(x,y)=g(h(x,y)), onde g é differentiável (função de uma variável) e h é diferenciável (função de duas variáveis), então as derivadas parciais são dadas por
\frac{\partial z}{\partial x} = g'\big(h(x,y)\big)\,\frac{\partial h}{\partial x} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = g'\big(h(x,y)\big)\,\frac{\partial h}{\partial y}.
Aqui:
  • g'(t) é a derivada de g no ponto t.
  • \frac{\partial h}{\partial x} é a derivada parcial de h em relação a x (tratando y como constante).
  • \frac{\partial h}{\partial y} é a derivada parcial de h em relação a y (tratando x como constante).
    A ideia intuitiva: variação de z quando x muda = (sensibilidade de g à variação da sua entrada) × (como a entrada h varia quando x muda).

Passo 3

Identifico a função interior h(x,y). No nosso caso,
h(x,y) = x y.
Agora calculo as derivadas parciais de h. Lembrando que ao derivar em relação a x tratamos y como constante, e vice-versa:
\frac{\partial h}{\partial x} = y, \qquad \frac{\partial h}{\partial y} = x.
Justificativa rápida: h(x,y)=xy é um produto; derivando em relação a x com y constante dá y; derivando em relação a y com x constante dá x.

Passo 4

Aplico a regra da cadeia usando os resultados do passo anterior. Para \frac{\partial z}{\partial x} temos
\frac{\partial z}{\partial x} = g'\big(h(x,y)\big)\,\frac{\partial h}{\partial x} = g'(xy)\cdot y.
Aqui substituí h(x,y) por xy e \frac{\partial h}{\partial x} por y.

Passo 5

Analogamente, para \frac{\partial z}{\partial y} obtemos
\frac{\partial z}{\partial y} = g'\big(h(x,y)\big)\,\frac{\partial h}{\partial y} = g'(xy)\cdot x.
Novamente substituí h(x,y)=xy e \frac{\partial h}{\partial y}=x.

Passo 6

Agora calculo a combinação pedida:
x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} = x\big(g'(xy)\,y\big) - y\big(g'(xy)\,x\big).
Agrupando termos:
x\big(g'(xy)\,y\big) - y\big(g'(xy)\,x\big) = x y\, g'(xy) - y x\, g'(xy).
Como x y = y x, os dois termos são idênticos e se cancelam, ficando
x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} = 0.
Isso vale para todo x,y onde g' esteja definido — que é garantido pela diferenciabilidade de g.

Passo 7

Para fixar a ideia, um exemplo concreto: escolha g(t)=t^2. Então z=(xy)^2.
Calcule:
\frac{\partial z}{\partial x} = 2(xy)\cdot y = 2 x y^2, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = 2(xy)\cdot x = 2 x^2 y.
Logo
x\frac{\partial z}{\partial x} - y\frac{\partial z}{\partial y} = x(2 x y^2) - y(2 x^2 y) = 2 x^2 y^2 - 2 x^2 y^2 = 0,
confirmando o resultado no caso particular. Isso é só para ganhar confiança — a demonstração geral já mostrou que funciona para qualquer g diferenciável.

Resposta

x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} = 0

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