1* Questāo: Seja
uma funçāo diferenciável de uma variável e seja
Mostre que z satisfaz à equaçāo
Passo 1
O enunciado dá que
é uma função diferenciável de uma variável e define
A pergunta é: mostrar que
satisfaz a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
-
é diferenciável (portanto sua derivada existe nos pontos considerados). - A função
é a composição de com a função , ou seja, .
Passo 2
Vou usar a regra da cadeia para derivadas parciais de uma composição. Explico com calma o que ela diz: se
, onde
é differentiável (função de uma variável) e
é diferenciável (função de duas variáveis), então as derivadas parciais são dadas por
Aqui:
-
é a derivada de no ponto . -
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante). -
é a derivada parcial de em relação a (tratando como constante).
A ideia intuitiva: variação dequando muda = (sensibilidade de à variação da sua entrada) × (como a entrada varia quando muda).
Passo 3
Identifico a função interior
. No nosso caso,
Agora calculo as derivadas parciais de
. Lembrando que ao derivar em relação a
tratamos
como constante, e vice-versa:
Justificativa rápida:
é um produto; derivando em relação a
com
constante dá
; derivando em relação a
com
constante dá
.
Passo 4
Aplico a regra da cadeia usando os resultados do passo anterior. Para
temos
Aqui substituí
por
e
por
.
Passo 5
Analogamente, para
obtemos
Novamente substituí
e
.
Passo 6
Agora calculo a combinação pedida:
Agrupando termos:
Como
, os dois termos são idênticos e se cancelam, ficando
Isso vale para todo
onde
esteja definido — que é garantido pela diferenciabilidade de
.
Passo 7
Para fixar a ideia, um exemplo concreto: escolha
. Então
.
Calcule:
Calcule:
Logo
confirmando o resultado no caso particular. Isso é só para ganhar confiança — a demonstração geral já mostrou que funciona para qualquer
diferenciável.