2a Questāo: Considere a funçāo
.
- A partir do ponto
em que direçāo
cresce mais? Qual a taxa de crescimento nesta direçōo ?
- Determine a equação da curva de nível da
que passa pelo ponto
e esboce-a.
- Determine a equação da reta tangente à curva de nível determinada no item anterior, no ponto
.
Passo 1
Dados do enunciado:
- A função é
. - O ponto dado é
.
O enunciado pede três coisas:
- Em que direção, a partir de
, cresce mais e qual a taxa de crescimento nessa direção? - A equação da curva de nível de
que passa por e um esboço dessa curva. - A equação da reta tangente à curva de nível do item anterior no ponto
.
Passo 2
Primeiro conceito importante (aula rápida): a direção de crescimento mais rápido de uma função real de duas variáveis é dada pelo gradiente. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento; a taxa máxima de crescimento é o comprimento (magnitude) desse gradiente.
Definição e cálculo:
- A derivada parcial em relação a
é . - A derivada parcial em relação a
é .
O gradiente é
Passo 3
Avalio o gradiente no ponto
:
Interpretações e resultados pedidos:
- A direção de crescimento mais rápido é a direção do vetor
. - Normalmente damos a direção como vetor unitário nessa direção; o vetor unitário é
- A taxa máxima de crescimento (valor do derivado direcional nessa direção) é o comprimento do gradiente:
Explicação curta de por que isso funciona: o derivado direcional em direção unitária
é
. Para
alinhado com
(ou seja
) essa quantidade atinge seu máximo, igual a
.
Passo 4
Agora a curva de nível que passa por
.
A curva de nível para um valor constante
é o conjunto
.
Calculo o valor em
:
Calculo o valor
Logo a curva de nível pedida é
Passo 5
Identificação da curva (esboço verbal e propriedades):
- A equação
é uma elipse centrada na origem. - Escrevendo em forma padrão:
- Os semi-eixos são
(eixo ) e (eixo ). - Interceptos: quando
temos ; quando temos . - A elipse é simétrica em relação aos eixos coordenados e passa por
(verificação: ).
Esboço (descrição para desenhar no papel): desenhe uma elipse centrada na origem, com pontos mais à direita e esquerda em
e pontos superiores/inferiores em
. Marque o ponto
que fica dentro da elipse próxima ao quadrante IV.
Passo 6
Equação da reta tangente à curva de nível no ponto
.
Conceito chave: o gradiente é normal (perpendicular) às curvas de nível. Assim a reta tangente é aquela cuja direção é perpendicular a
, ou equivalentemente satisfaz
(forma ponto-normal).
Usando
,
Faço a simplificação:
Dividindo por
:
Isolando
:
Interpretação: a inclinação da tangente é
, o que também pode ser obtido impondo ortogonalidade entre o vetor normal
e o vetor direção da reta tangente
, resolvendo
.
Passo 7
Recapitulando de forma motivadora: o gradiente te dá tudo — direção de subida e taxa — e também é a chave para achar a reta tangente às curvas de nível (porque ele é normal). Respira fundo: com esses passos dá para resolver muitas questões parecidas.
Resposta
Direção de maior crescimento: vetor unitário
e taxa máxima de crescimento
.
Equação da curva de nível que passa por :
.
Equação da reta tangente à curva de nível em :
.
Equação da curva de nível que passa por
Equação da reta tangente à curva de nível em