2a Questāo: Considere a funçāo f(x, y)=x^{2}+4 y^{2}.
  1. A partir do ponto (2,-1) em que direçāo f(x, y) cresce mais? Qual a taxa de crescimento nesta direçōo ?
  2. Determine a equação da curva de nível da f(x, y) que passa pelo ponto (2,-1) e esboce-a.
  3. Determine a equação da reta tangente à curva de nível determinada no item anterior, no ponto (2,-1).

Passo 1

Dados do enunciado:
  • A função é f(x,y)=x^{2}+4y^{2}.
  • O ponto dado é (2,-1).
O enunciado pede três coisas:
  1. Em que direção, a partir de (2,-1), f cresce mais e qual a taxa de crescimento nessa direção?
  2. A equação da curva de nível de f que passa por (2,-1) e um esboço dessa curva.
  3. A equação da reta tangente à curva de nível do item anterior no ponto (2,-1).

Passo 2

Primeiro conceito importante (aula rápida): a direção de crescimento mais rápido de uma função real de duas variáveis é dada pelo gradiente. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais e aponta na direção de maior aumento; a taxa máxima de crescimento é o comprimento (magnitude) desse gradiente.
Definição e cálculo:
  • A derivada parcial em relação a x é \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x.
  • A derivada parcial em relação a y é \dfrac{\partial f}{\partial y}=8y.
O gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=(2x,\,8y).

Passo 3

Avalio o gradiente no ponto (2,-1):
\nabla f(2,-1)=(2\cdot 2,\;8\cdot(-1))=(4,-8).
Interpretações e resultados pedidos:
  • A direção de crescimento mais rápido é a direção do vetor (4,-8).
  • Normalmente damos a direção como vetor unitário nessa direção; o vetor unitário é
u=\dfrac{(4,-8)}{\sqrt{4^{2}+(-8)^{2}}}=\dfrac{(4,-8)}{\sqrt{16+64}}=\dfrac{(4,-8)}{\sqrt{80}}=\dfrac{(1,-2)}{\sqrt{5}}.
  • A taxa máxima de crescimento (valor do derivado direcional nessa direção) é o comprimento do gradiente:
\|\nabla f(2,-1)\|=\sqrt{4^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.
Explicação curta de por que isso funciona: o derivado direcional em direção unitária u é D_{u}f=\nabla f\cdot u. Para u alinhado com \nabla f (ou seja u=\nabla f/\|\nabla f\|) essa quantidade atinge seu máximo, igual a \|\nabla f\|.

Passo 4

Agora a curva de nível que passa por (2,-1).
A curva de nível para um valor constante c é o conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.
Calculo o valor c em (2,-1):
c=f(2,-1)=2^{2}+4(-1)^{2}=4+4=8.
Logo a curva de nível pedida é
x^{2}+4y^{2}=8.

Passo 5

Identificação da curva (esboço verbal e propriedades):
  • A equação \;x^{2}+4y^{2}=8\; é uma elipse centrada na origem.
  • Escrevendo em forma padrão:
\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{2}=1.
  • Os semi-eixos são a=\sqrt{8}=2\sqrt{2} (eixo x) e b=\sqrt{2} (eixo y).
  • Interceptos: quando y=0 temos x=\pm 2\sqrt{2}; quando x=0 temos y=\pm\sqrt{2}.
  • A elipse é simétrica em relação aos eixos coordenados e passa por (2,-1) (verificação: 2^{2}+4(-1)^{2}=8).
Esboço (descrição para desenhar no papel): desenhe uma elipse centrada na origem, com pontos mais à direita e esquerda em (\pm 2\sqrt{2},0) e pontos superiores/inferiores em (0,\pm\sqrt{2}). Marque o ponto (2,-1) que fica dentro da elipse próxima ao quadrante IV.

Passo 6

Equação da reta tangente à curva de nível no ponto (2,-1).
Conceito chave: o gradiente é normal (perpendicular) às curvas de nível. Assim a reta tangente é aquela cuja direção é perpendicular a \nabla f(2,-1), ou equivalentemente satisfaz \nabla f(2,-1)\cdot (x-2,y+1)=0 (forma ponto-normal).
Usando \nabla f(2,-1)=(4,-8),
4(x-2)-8(y+1)=0.
Faço a simplificação:
4x-8-8y-8=0\quad\Rightarrow\quad 4x-8y-16=0.
Dividindo por 4:
x-2y-4=0.
Isolando y:
y=\tfrac{1}{2}x-2.
Interpretação: a inclinação da tangente é m=\tfrac{1}{2}, o que também pode ser obtido impondo ortogonalidade entre o vetor normal (4,-8) e o vetor direção da reta tangente (1,m), resolvendo 4+(-8)m=0.

Passo 7

Recapitulando de forma motivadora: o gradiente te dá tudo — direção de subida e taxa — e também é a chave para achar a reta tangente às curvas de nível (porque ele é normal). Respira fundo: com esses passos dá para resolver muitas questões parecidas.

Resposta

Direção de maior crescimento: vetor unitário \dfrac{(1,-2)}{\sqrt{5}} e taxa máxima de crescimento 4\sqrt{5}.
Equação da curva de nível que passa por (2,-1): x^{2}+4y^{2}=8.
Equação da reta tangente à curva de nível em (2,-1): y=\dfrac{1}{2}x-2.

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