Questão 8: Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x, y)=1-x^{2}-y^{2}+3 x y. Classifique o/os ponto(os) crítico(os) de f.
Passo 1
O enunciado fornece a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=1-x^{2}-y^{2}+3xy.
O que é pedido: encontrar e classificar os pontos críticos de f. Informações relevantes fornecidas:
A expressão explícita de f(x,y).
É preciso achar pontos onde o gradiente é nulo (pontos críticos) e decidir se cada ponto é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (aula curta): um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras desaparecem ali. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Para achar pontos críticos, calculamos \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} e resolvemos o sistema \nabla f(x,y)=\mathbf{0}.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de f. Derivamos termo a termo, lembrando que a derivada de x^{2} em relação a x é 2x, e que 3xy visto como função de x tem derivada 3y:
Logo x=0. Então y=\dfrac{2}{3}\cdot 0=0. Concluímos que existe um único ponto crítico:
(x,y)=(0,0).
Passo 5
Como classificar o ponto crítico? (aula curta sobre teste das segundas derivadas): para funções f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} usamos a matriz Hessiana das segundas derivadas:
Como D=-5<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.]
Passo 7
Complemento explicativo (intuição): D<0 significa que a forma quadrática associada às segundas derivadas é indefinida — em algumas direções f cresce e em outras decresce ao redor do ponto. Para ver isso diretamente, avalie f em linhas passando por (0,0):
f(t,t)=1-t^{2}-t^{2}+3t^{2}=1+t^{2},
que cresce quando t se afasta de 0 (comportamento de mínimo naquela direção), enquanto
f(t,-t)=1-t^{2}-t^{2}-3t^{2}=1-5t^{2},
que decresce quando t se afasta de 0 (comportamento de máximo naquela direção). Esse contraste confirma que (0,0) é ponto de sela.