Questão 8: Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x, y)=1-x^{2}-y^{2}+3 x y. Classifique o/os ponto(os) crítico(os) de f.

Passo 1

O enunciado fornece a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=1-x^{2}-y^{2}+3xy.
O que é pedido: encontrar e classificar os pontos críticos de f. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • É preciso achar pontos onde o gradiente é nulo (pontos críticos) e decidir se cada ponto é mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (aula curta): um ponto (x_0,y_0) é crítico se as derivadas parciais primeiras desaparecem ali. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\[4pt]\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\end{pmatrix}.
Para achar pontos críticos, calculamos \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} e resolvemos o sistema \nabla f(x,y)=\mathbf{0}.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Derivamos termo a termo, lembrando que a derivada de x^{2} em relação a x é 2x, e que 3xy visto como função de x tem derivada 3y:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -2x + 3y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -2y + 3x.
Agora impomos \nabla f(x,y)=\mathbf{0}, isto é,
\begin{cases} -2x + 3y = 0,\\[4pt] -2y + 3x = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema linear para achar os pontos críticos. Da primeira equação vem 3y=2x, então
y=\dfrac{2}{3}x.
Substituindo na segunda equação:
-2\left(\dfrac{2}{3}x\right)+3x=0 \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{4}{3}x+3x=0 \quad\Rightarrow\quad \left( -\dfrac{4}{3}+3\right)x=0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{3}x=0.
Logo x=0. Então y=\dfrac{2}{3}\cdot 0=0. Concluímos que existe um único ponto crítico:
(x,y)=(0,0).

Passo 5

Como classificar o ponto crítico? (aula curta sobre teste das segundas derivadas): para funções f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} usamos a matriz Hessiana das segundas derivadas:
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
O teste padrão: calcule D(x,y)=\det H(x,y)=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 6

Calcular as segundas derivadas e a Hessiana no ponto (0,0). Derivando as parciais:
f_{xx}(x,y)=-2,\qquad f_{yy}(x,y)=-2,\qquad f_{xy}(x,y)=3.
A Hessiana é constante (não depende de x,y):
H=\begin{pmatrix}-2 & 3\\[4pt]3 & -2\end{pmatrix}.
O determinante é
D=\det H = (-2)(-2)-3^{2}=4-9=-5.
Como D=-5<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico (0,0) é um ponto de sela.]

Passo 7

Complemento explicativo (intuição): D<0 significa que a forma quadrática associada às segundas derivadas é indefinida — em algumas direções f cresce e em outras decresce ao redor do ponto. Para ver isso diretamente, avalie f em linhas passando por (0,0):
f(t,t)=1-t^{2}-t^{2}+3t^{2}=1+t^{2},
que cresce quando t se afasta de 0 (comportamento de mínimo naquela direção), enquanto
f(t,-t)=1-t^{2}-t^{2}-3t^{2}=1-5t^{2},
que decresce quando t se afasta de 0 (comportamento de máximo naquela direção). Esse contraste confirma que (0,0) é ponto de sela.

Resposta

(0,0) é um ponto de sela.

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