Questão 7: Suponha que a função
satisfaça a Equação de Laplace, ou seja,
Verifique que a função
também satisfaz a Equação de Laplace.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação clara:
- Foi dada uma função
de duas variáveis que satisfaz a Equação de Laplace:
ou seja, para as variáveis internas de
vale
.
- Define-se uma nova função
por composição com uma transformação linear das variáveis:
- Objetivo: verificar que
também satisfaz a Equação de Laplace, isto é, mostrar que
Passo 2
Vamos introduzir notação conveniente para a composição. Defina
Assim podemos escrever de forma clara
Aqui
é vista como função das variáveis
e
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais de primeira ordem (explicação rápida: a regra da cadeia diz que, se
, então cada derivada parcial de
é soma das derivadas parciais de
multiplicadas pelas derivadas das funções internas), obtemos:
onde
,
e
, etc.
Agora calculemos as derivadas de
e
:
Portanto explicitamente:
Passo 4
Agora precisamos das segundas derivadas. Para obter
derivamos
em relação a
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para as derivadas de
e
. A fórmula geral (que vale sempre) é:
Explicando cada termo: os primeiros três vêm de diferenciar as derivadas parciais de
(aplicando cadeia novamente), e os dois últimos vêm de diferenciar
e
caso elas dependam de
.
Como
e
são funções lineares de
, suas segundas derivadas em
e
são zero:
Então a expressão simplifica bastante. Substituindo
e
obtemos:
Passo 5
De modo análogo, para
temos a fórmula (mesmo raciocínio da regra da cadeia):
Novamente
. Substituindo
e
obtemos:
Passo 6
Somando
e
:
Os termos com
cancelam porque
. Agrupando os restantes:
Passo 7
Pelo enunciado sabemos que
satisfaz a Equação de Laplace nas suas próprias variáveis, isto é,
Substituindo na expressão anterior:
Portanto
satisfaz a Equação de Laplace em
.