Questão 7: Suponha que a função z=f(x, y) satisfaça a Equação de Laplace, ou seja,
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0
Verifique que a função z=f(x-2 y, 2 x+y) também satisfaz a Equação de Laplace.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação clara:
  • Foi dada uma função f de duas variáveis que satisfaz a Equação de Laplace:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0,
ou seja, para as variáveis internas de f vale \,f_{xx}+f_{yy}=0.
  • Define-se uma nova função z por composição com uma transformação linear das variáveis:
z(x,y)=f(x-2y,\;2x+y).
  • Objetivo: verificar que z também satisfaz a Equação de Laplace, isto é, mostrar que
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0.

Passo 2

Vamos introduzir notação conveniente para a composição. Defina
u(x,y)=x-2y,\qquad v(x,y)=2x+y.
Assim podemos escrever de forma clara
z(x,y)=f\big(u(x,y),\,v(x,y)\big)=f(u,v).
Aqui f é vista como função das variáveis u e v.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para derivadas parciais de primeira ordem (explicação rápida: a regra da cadeia diz que, se z=f(u(x,y),v(x,y)), então cada derivada parcial de z é soma das derivadas parciais de f multiplicadas pelas derivadas das funções internas), obtemos:
\frac{\partial z}{\partial x}=f_{u}\,u_x+f_{v}\,v_x, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=f_{u}\,u_y+f_{v}\,v_y,
onde f_{u}=\dfrac{\partial f}{\partial u}, f_{v}=\dfrac{\partial f}{\partial v} e u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}, etc.
Agora calculemos as derivadas de u e v:
u_x=1,\quad u_y=-2,\qquad v_x=2,\quad v_y=1.
Portanto explicitamente:
z_x = f_{u}\cdot 1 + f_{v}\cdot 2 = f_{u}+2f_{v},
z_y = f_{u}\cdot(-2)+f_{v}\cdot 1 = -2f_{u}+f_{v}.

Passo 4

Agora precisamos das segundas derivadas. Para obter z_{xx} derivamos z_x em relação a x. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para as derivadas de f_u e f_v. A fórmula geral (que vale sempre) é:
z_{xx}=f_{uu}\,u_x^2 + 2f_{uv}\,u_x v_x + f_{vv}\,v_x^2 + f_{u}\,u_{xx} + f_{v}\,v_{xx}.
Explicando cada termo: os primeiros três vêm de diferenciar as derivadas parciais de f (aplicando cadeia novamente), e os dois últimos vêm de diferenciar u_x e v_x caso elas dependam de x.
Como u e v são funções lineares de x,y, suas segundas derivadas em x e y são zero:
u_{xx}=u_{yy}=v_{xx}=v_{yy}=0.
Então a expressão simplifica bastante. Substituindo u_x=1 e v_x=2 obtemos:
z_{xx}=f_{uu}\cdot 1^{2} + 2f_{uv}\cdot(1)(2) + f_{vv}\cdot 2^{2} = f_{uu} + 4f_{uv} + 4f_{vv}.

Passo 5

De modo análogo, para z_{yy} temos a fórmula (mesmo raciocínio da regra da cadeia):
z_{yy}=f_{uu}\,u_y^2 + 2f_{uv}\,u_y v_y + f_{vv}\,v_y^2 + f_{u}\,u_{yy} + f_{v}\,v_{yy}.
Novamente u_{yy}=v_{yy}=0. Substituindo u_y=-2 e v_y=1 obtemos:
z_{yy}=f_{uu}\cdot(-2)^{2} + 2f_{uv}\cdot(-2)(1) + f_{vv}\cdot 1^{2} = 4f_{uu} -4f_{uv} + f_{vv}.

Passo 6

Somando z_{xx} e z_{yy}:
z_{xx}+z_{yy} = (f_{uu}+4f_{uv}+4f_{vv}) + (4f_{uu}-4f_{uv}+f_{vv}).
Os termos com f_{uv} cancelam porque 4f_{uv}-4f_{uv}=0. Agrupando os restantes:
z_{xx}+z_{yy} = (f_{uu}+4f_{uu}) + (4f_{vv}+f_{vv}) = 5f_{uu} + 5f_{vv} = 5\big(f_{uu}+f_{vv}\big).

Passo 7

Pelo enunciado sabemos que f satisfaz a Equação de Laplace nas suas próprias variáveis, isto é,
f_{uu}+f_{vv}=0.
Substituindo na expressão anterior:
z_{xx}+z_{yy}=5\big(f_{uu}+f_{vv}\big)=5\cdot 0=0.
Portanto z satisfaz a Equação de Laplace em (x,y).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0

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