Questão 2. (3.0) Seja S a superfície formada pela parte do gráfico da função z=x y que está dentro da região delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1. Considere também o campo vetorial \vec{F}(x, y, z)=\left(7 x+4,3 x+9 z, x^{2}\right).
a) Exiba uma parametrização de S.
b) Calcule o rotacional de \vec{F}.
c) O campo \vec{F} é conservativo? Se for, encontre um potencial.
d) Calcule o divergente de \vec{F}.
e) Calcule
\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde C é a fronteira de S, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede cinco coisas sobre a superfície S e o campo \vec{F}. Vou listar o que foi dado e o que cada item exige:
  • Dados:
    • A superfície S é a parte do gráfico z=xy restrita à região do plano xy delimitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1. Ou seja, S=\{(x,y,z)\mid z=xy,\;x^{2}+y^{2}\le 1\}.
    • O campo vetorial é \displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\bigl(7x+4,\;3x+9z,\;x^{2}\bigr).
    • A curva C é a fronteira de S, que corresponde ao círculo x^{2}+y^{2}=1 com z=xy sobre ele. A orientação pedida para C é anti-horária vista de cima (isto implica escolher a normal da superfície para cima quando usar teoremas folheados por orientação).
  • Perguntas:
    (a) Exibir uma parametrização de S.
    (b) Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}.
    (c) Dizer se \vec{F} é conservativo; se for, achar um potencial.
    (d) Calcular o divergente \nabla\cdot\vec{F}.
    (e) Calcular \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r com a orientação indicada.

Passo 2

(a) Parametrização de S.
  • Ideia: S é o gráfico z=xy sobre o disco unitário D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}. Uma parametrização natural usa coordenadas polares no plano xy.
  • Em coordenadas polares tomamos \displaystyle x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com \;0\le r\le 1,\;0\le\theta<2\pi.
  • Como z=xy, obtemos z=r\cos\theta\cdot r\sin\theta=r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Portanto uma parametrização \vec{\Phi}:[0,1]\times[0,2\pi)\to S é
\vec{\Phi}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\cos\theta\sin\theta\bigr),
com 0\le r\le 1,\;0\le\theta<2\pi.
(Dica prática para prova: ao lidar com gráficos z=f(x,y) sobre discos, usar (r,\theta) no plano é quase sempre a parametrização mais simples.)

Passo 3

(b) Cálculo do rotacional \nabla\times\vec{F}.
  • Fórmula (em componentes): para \vec{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}),
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right).
  • Identificando F_{1}=7x+4,\;F_{2}=3x+9z,\;F_{3}=x^{2}, calculo cada parcial:
    • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial y}=0.
    • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial (3x+9z)}{\partial z}=9.
    • Primeira componente: 0-9=-9.
    • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial (7x+4)}{\partial z}=0.
    • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial x}=2x.
    • Segunda componente: 0-2x=-2x.
    • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial (3x+9z)}{\partial x}=3.
    • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial (7x+4)}{\partial y}=0.
    • Terceira componente: 3-0=3.
Logo
\nabla\times\vec{F}=\bigl(-9,\;-2x,\;3\bigr).

Passo 4

(c) Conservatividade de \vec{F}.
  • Lembrete: um campo \vec{F} definido num domínio simplesmente conectado de \mathbb{R}^{3} é conservativo somente se \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em todo o domínio (condição necessária e suficiente para campos suaves em \mathbb{R}^3).
  • Aqui \nabla\times\vec{F}=(-9,-2x,3) não é o vetor nulo (p. ex. a primeira componente é -9\neq 0). Portanto \vec{F} não é conservativo e não existe função potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\vec{F}.
Conclusão: \vec{F} não é conservativo (logo não há potencial global).

Passo 5

(d) Divergente de \vec{F}.
  • Fórmula: \nabla\cdot\vec{F}=\dfrac{\partial F_{1}}{\partial x}+\dfrac{\partial F_{2}}{\partial y}+\dfrac{\partial F_{3}}{\partial z}.
  • Calculando:
    • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial x}=\frac{\partial (7x+4)}{\partial x}=7.
    • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial y}=\frac{\partial (3x+9z)}{\partial y}=0.
    • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial z}=\frac{\partial (x^{2})}{\partial z}=0.
Portanto
\nabla\cdot\vec{F}=7.

Passo 6

(e) Cálculo de \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r, com C=\partial S orientada anti-horário vista de cima.
  • Estratégia eficiente: usar o Teorema de Stokes. Ele diz que, para uma superfície orientada por uma normal compatível com a orientação de C,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec n\,dS.
  • Como C é orientado anti-horário vista de cima, escolhemos a orientação da superfície com normal apontando para cima (com componente z>0). Para um gráfico z=f(x,y) a forma prática é usar
\vec n\,dS = \bigl(-f_{x},\;-f_{y},\;1\bigr)\,dA,
onde dA é a área no plano xy e f(x,y)=xy. Aqui f_{x}=y,\;f_{y}=x, então
\vec n\,dS = \bigl(-y,\;-x,\;1\bigr)\,dA.
  • Avaliar (\nabla\times\vec{F}) na superfície: como z=xy, temos \nabla\times\vec{F}(x,y,xy)=(-9,-2x,3) (a componente do rotacional não depende de z exceto já considerada).
  • Produto escalar:
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec n = (-9,-2x,3)\cdot(-y,-x,1)=9y+2x^{2}+3.
  • Então, pelo Teorema de Stokes,
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=\iint_{D}\bigl(9y+2x^{2}+3\bigr)\,dA,
onde D é o disco unitário x^{2}+y^{2}\le 1.
  • Avaliando a integral sobre o disco:
    • O termo 9y integra zero por simetria (função ímpar em y sobre disco simétrico).
    • Resta \iint_{D}\bigl(2x^{2}+3\bigr)\,dA.
    • Usando coordenadas polares x=r\cos\theta,\;dA=r\,dr\,d\theta: \iint_{D}2x^{2}\,dA = 2\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r^{2}\cos^{2}\theta\; r\,dr\,d\theta =2\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right).
      • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\pi.
      • \displaystyle \int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\frac{1}{4}.
      • Logo \iint_{D}2x^{2}\,dA=2\cdot\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{2}.
    • Para o termo constante: \iint_{D}3\,dA = 3\cdot \text{Área}(D)=3\cdot\pi\cdot 1^{2}=3\pi.Á
    • Somando: \displaystyle \frac{\pi}{2}+3\pi=\frac{7\pi}{2}.
Portanto
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=\frac{7\pi}{2}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{\Phi}(r,\theta)=\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r^{2}\cos\theta\sin\theta\bigr),\;0\le r\le1,\;0\le\theta<2\pi.
(b) \displaystyle \nabla\times\vec{F}=\bigl(-9,\;-2x,\;3\bigr).
(c) \displaystyle \vec{F} não é conservativo (não existe potencial global).
(d) \displaystyle \nabla\cdot\vec{F}=7.
(e) \displaystyle \oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec r=\dfrac{7\pi}{2}.

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