Questão 2. (3.0) Seja
a superfície formada pela parte do gráfico da função
que está dentro da região delimitada pelo cilindro
. Considere também o campo vetorial
.
a) Exiba uma parametrização de
.
b) Calcule o rotacional de
.
c) O campo
é conservativo? Se for, encontre um potencial.
d) Calcule o divergente de
.
e) Calcule
onde
é a fronteira de
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
a) Exiba uma parametrização de
b) Calcule o rotacional de
c) O campo
d) Calcule o divergente de
e) Calcule
Passo 1
O enunciado pede cinco coisas sobre a superfície
e o campo
. Vou listar o que foi dado e o que cada item exige:
- Dados:
- A superfície
é a parte do gráfico restrita à região do plano delimitada pelo cilindro . Ou seja, . - O campo vetorial é
. - A curva
é a fronteira de , que corresponde ao círculo com sobre ele. A orientação pedida para é anti-horária vista de cima (isto implica escolher a normal da superfície para cima quando usar teoremas folheados por orientação).
- A superfície
- Perguntas:
(a) Exibir uma parametrização de.
(b) Calcular o rotacional.
(c) Dizer seé conservativo; se for, achar um potencial.
(d) Calcular o divergente.
(e) Calcularcom a orientação indicada.
Passo 2
(a) Parametrização de
.
- Ideia:
é o gráfico sobre o disco unitário . Uma parametrização natural usa coordenadas polares no plano . - Em coordenadas polares tomamos
com . - Como
, obtemos .
Portanto uma parametrização
é
com
.
(Dica prática para prova: ao lidar com gráficos sobre discos, usar
no plano é quase sempre a parametrização mais simples.)
(Dica prática para prova: ao lidar com gráficos
Passo 3
(b) Cálculo do rotacional
.
- Fórmula (em componentes): para
,
- Identificando
, calculo cada parcial: -
-
- Primeira componente:
-
-
- Segunda componente:
-
-
- Terceira componente:
-
Logo
Passo 4
(c) Conservatividade de
.
- Lembrete: um campo
definido num domínio simplesmente conectado de é conservativo somente se em todo o domínio (condição necessária e suficiente para campos suaves em ). - Aqui
não é o vetor nulo (p. ex. a primeira componente é ). Portanto não é conservativo e não existe função potencial tal que .
Conclusão:
não é conservativo (logo não há potencial global).
Passo 5
(d) Divergente de
.
- Fórmula:
. - Calculando:
-
Portanto
Passo 6
(e) Cálculo de
, com
orientada anti-horário vista de cima.
- Estratégia eficiente: usar o Teorema de Stokes. Ele diz que, para uma superfície orientada por uma normal compatível com a orientação de
,
- Como
é orientado anti-horário vista de cima, escolhemos a orientação da superfície com normal apontando para cima (com componente ). Para um gráfico a forma prática é usar
onde
é a área no plano
e
. Aqui
, então
- Avaliar
na superfície: como , temos (a componente do rotacional não depende de exceto já considerada). - Produto escalar:
- Então, pelo Teorema de Stokes,
onde
é o disco unitário
.
- Avaliando a integral sobre o disco:
- O termo
integra zero por simetria (função ímpar em sobre disco simétrico). - Resta
. - Usando coordenadas polares
: -
-
- Logo
-
- Para o termo constante:
- Somando:
- O termo
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(c) não é conservativo (não existe potencial global).
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)