Questão 1. (2.0) Seja
o segmento de reta orientado do ponto (
) ao ponto (
).
a) Exiba uma parametrização de
.
b) Calcule a integral de linha
a) Exiba uma parametrização de
b) Calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado dá um segmento de reta orientado do ponto
até o ponto
e pede duas coisas:
- (a) exibir uma parametrização de
; - (b) calcular a integral de linha
.
Informações relevantes fornecidas:
- Ponto inicial
. - Ponto final
. - A integral de linha envolve apenas
e (aparece e ), mas a curva está em ; assim a coordenada deve aparecer na parametrização, mesmo que a integral não dependa dela explicitamente.
Passo 2
Como parametrizar um segmento de reta entre dois pontos? Uma forma padrão (e prática para provas) é usar a parametrização
porque em
obtemos
e em
obtemos
. Aplicando aos nossos pontos:
Logo
Isso fornece as coordenadas paramétricas:
Passo 3
Como se calcula
a partir de uma parametrização? Se
para
, então substituímos
e
e obtemos a integral em
:
Aqui:
-
, -
, -
e são as derivadas das componentes da parametrização em relação a .
Passo 4
Calculemos as derivadas das componentes da parametrização:
Agora avaliamos
e
ao longo da curva:
Substituindo na fórmula da integral:
Usando
e
:
Colocando em fator comum:
Passo 5
Vamos calcular a integral explícita. Primeiro expandimos o integrando para integrar termo a termo:
Multiplicando:
Agora integramos de
a
:
Avaliação em
dá
e em
é
. Portanto a integral vale
.
Passo 6
Resumo rápido e interpretação: a parametrização do segmento é
para
. Substituindo na integral de linha e integrando, obtemos valor zero. Às vezes integrais de formas deste tipo dão zero por cancelamento ao longo do caminho; isso aconteceu aqui. Boa! Continua firme — esse tipo de procedimento (parametrizar, substituir
, integrar em
) é padrão e funciona direto na prova.
Resposta
a)
b)
b)