Questão 1. (2.0) Seja C o segmento de reta orientado do ponto ( 0,1,3 ) ao ponto ( 2,0,1 ).
a) Exiba uma parametrização de C.
b) Calcule a integral de linha \int_{C} x y^{2} d x+y^{2} d y

Passo 1

O enunciado dá um segmento de reta orientado do ponto (0,1,3) até o ponto (2,0,1) e pede duas coisas:
  • (a) exibir uma parametrização de C;
  • (b) calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x y^{2}\,dx + y^{2}\,dy.
Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto inicial A=(0,1,3).
  • Ponto final B=(2,0,1).
  • A integral de linha envolve apenas x e y (aparece dx e dy), mas a curva está em \mathbb{R}^3; assim a coordenada z deve aparecer na parametrização, mesmo que a integral não dependa dela explicitamente.

Passo 2

Como parametrizar um segmento de reta entre dois pontos? Uma forma padrão (e prática para provas) é usar a parametrização
\mathbf{r}(t)=A+t(B-A),\qquad 0\le t\le 1,
porque em t=0 obtemos A e em t=1 obtemos B. Aplicando aos nossos pontos:
B-A=(2,0,1)-(0,1,3)=(2,-1,-2).
Logo
\mathbf{r}(t)=(0,1,3)+t(2,-1,-2)=(2t,\;1-t,\;3-2t),\qquad 0\le t\le 1.
Isso fornece as coordenadas paramétricas:
x(t)=2t,\qquad y(t)=1-t,\qquad z(t)=3-2t,\qquad 0\le t\le 1.

Passo 3

Como se calcula \displaystyle \int_{C} P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy a partir de uma parametrização? Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) para t\in[a,b], então substituímos dx=x'(t)\,dt e dy=y'(t)\,dt e obtemos a integral em t:
\int_{C} P\,dx+Q\,dy=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Aqui:
  • P(x,y)=x y^{2},
  • Q(x,y)=y^{2},
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas das componentes da parametrização em relação a t.

Passo 4

Calculemos as derivadas das componentes da parametrização:
x(t)=2t\implies x'(t)=2,\qquad y(t)=1-t\implies y'(t)=-1.
Agora avaliamos P e Q ao longo da curva:
P(x(t),y(t))=x(t)\,y(t)^{2}=(2t)(1-t)^{2}, \qquad Q(x(t),y(t))=y(t)^{2}=(1-t)^{2}.
Substituindo na fórmula da integral:
\int_{C} x y^{2}\,dx + y^{2}\,dy =\int_{0}^{1}\Bigl[(2t)(1-t)^{2}\cdot x'(t) + (1-t)^{2}\cdot y'(t)\Bigr]\,dt.
Usando x'(t)=2 e y'(t)=-1:
\int_{0}^{1}\Bigl[ (2t)(1-t)^{2}\cdot 2 + (1-t)^{2}\cdot(-1)\Bigr]\,dt =\int_{0}^{1}\bigl(4t(1-t)^{2}-(1-t)^{2}\bigr)\,dt.
Colocando em fator comum:
\int_{0}^{1}(1-t)^{2}(4t-1)\,dt.

Passo 5

Vamos calcular a integral explícita. Primeiro expandimos o integrando para integrar termo a termo:
(1-t)^{2}(4t-1)=(1-2t+t^{2})(4t-1).
Multiplicando:
(1-2t+t^{2})(4t-1)=4t-1-8t^{2}+2t+4t^{3}-t^{2}=4t^{3}-9t^{2}+6t-1.
Agora integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(4t^{3}-9t^{2}+6t-1)\,dt = \Bigl[ t^{4}-3t^{3}+3t^{2}-t\Bigr]_{0}^{1}.
Avaliação em t=1
1-3+3-1=0,
e em t=0 é 0. Portanto a integral vale 0.

Passo 6

Resumo rápido e interpretação: a parametrização do segmento é \mathbf{r}(t)=(2t,1-t,3-2t) para 0\le t\le1. Substituindo na integral de linha e integrando, obtemos valor zero. Às vezes integrais de formas deste tipo dão zero por cancelamento ao longo do caminho; isso aconteceu aqui. Boa! Continua firme — esse tipo de procedimento (parametrizar, substituir dx,dy, integrar em t) é padrão e funciona direto na prova.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=(2t,\;1-t,\;3-2t),\quad 0\le t\le 1.
b) \displaystyle 0

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