Questão 4. (2,0) Seja
e defina a operação
em
.
Determine se a operação * sobre
é comutativa, associativa, se admite elemento neutro e quais elementos são simetrizáveis.
Determine se a operação * sobre
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação
Precisamos verificar se
é comutativa, associativa, encontrar o elemento neutro e caracterizar os elementos que admitem inverso (ou simetrizáveis).
Passo 2
Para a comutatividade, basta comparar
com
Como em
a soma é comutativa (
) e a multiplicação é comutativa (
), segue que
Logo,
é comutativa.
Passo 3
Para a associatividade, calculemos
e
Como os dois resultados coincidem,
é associativa.
Passo 4
Buscamos
tal que para todo
valha
Da primeira igualdade vem
, isto é
, e
para todo
, o que força
. Verifica-se imediatamente que
funciona em ambos os lados. Portanto o neutro é
Passo 5
Para
ser simetrizável existe
tal que
Isto equivale ao sistema
Da primeira equação segue
. Da segunda, em
, só há solução se
for unidade, ou seja
, e então
. Concluímos que exatamente os pares com segunda coordenada
são invertíveis, e o inverso de
(com
) é
Resposta
Comutativa: sim
Associativa: sim
Elemento neutro:
Elementos simetrizáveis: , com
Associativa: sim
Elemento neutro:
Elementos simetrizáveis: