Questão 4. (2,0) Seja E=Z times Z e defina a operação (a, b) *(c, d)=(a+c, b d) em E.
Determine se a operação * sobre E é comutativa, associativa, se admite elemento neutro e quais elementos são simetrizáveis.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
E = ZtimesZ
com a operação
(a,b)ast(c,d) = (a+c,;b,d)
Precisamos verificar se ast é comutativa, associativa, encontrar o elemento neutro e caracterizar os elementos que admitem inverso (ou simetrizáveis).

Passo 2

Para a comutatividade, basta comparar
(a,b)ast(c,d) = (a+c,;b,d)
com
(c,d)ast(a,b) = (c+a,;d,b)
Como em Z a soma é comutativa ( a+c=c+a) e a multiplicação é comutativa ( b,d=d,b), segue que
(a,b)ast(c,d) = (c,d)ast(a,b)
Logo, ast é comutativa.

Passo 3

Para a associatividade, calculemos
l((a,b)ast(c,d)r)ast(e,f) = (a+c,;b,d)ast(e,f) = l(a+c+e,;b,d,fr)
e
(a,b)astl((c,d)ast(e,f)r) = (a,b)ast(c+e,;d,f) = l(a+c+e,;b,d,fr)
Como os dois resultados coincidem, ast é associativa.

Passo 4

Buscamos (e1,e2)in E tal que para todo (a,b)in E valha
(a,b)ast(e1,e2) = (a,b), (e1,e2)ast(a,b) = (a,b)
Da primeira igualdade vem a+e1 = a, isto é e1=0, e b,e2 = b para todo binZ, o que força e2=1. Verifica-se imediatamente que (0,1) funciona em ambos os lados. Portanto o neutro é
(0,1)

Passo 5

Para (a,b) ser simetrizável existe (c,d) tal que
(a,b)ast(c,d) = (0,1)
Isto equivale ao sistema
a+c = 0, b,d = 1
Da primeira equação segue c=-a. Da segunda, em Z, só há solução se b for unidade, ou seja b=pm1, e então d=b. Concluímos que exatamente os pares com segunda coordenada pm1 são invertíveis, e o inverso de (a,b) (com b=pm1) é
(-a,;b)

Resposta

Comutativa: sim
Associativa: sim
Elemento neutro: (0,1)
Elementos simetrizáveis: (a,b)inZtimesZmid b=pm1, com
(a,b)^-1 = (-a,;b)

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