Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
As equações r=2, x^2+y^2=4 e x=2 sen 3 t, y=2 cos 3 t(0 <= t <= 2 pi) têm todas o mesmo gráfico.

Passo 1

O enunciado pergunta se as três representações
  1. Em coordenadas polares: r=2,
  2. Em coordenadas cartesianas: x^2+y^2=4,
  3. Em forma paramétrica: x=2sin(3t) y=2cos(3t) (0<= t<=2pi)
têm o mesmo gráfico. O conteúdo envolve transformação entre coordenadas e reconhecimento de curvas no plano.

Passo 2

Transformando a equação polar r=2 para coordenadas cartesianas usamos r=raizx^2+y^2. Logo,
raizx^2+y^2 = 2 Longrightarrow x^2+y^2=4
Portanto, a curva polar é exatamente o círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 3

A equação cartesiana x^2+y^2=4 já define o mesmo círculo de raio 2 centrado na origem. Logo, as duas primeiras formas coincidem em seu conjunto de pontos.

Passo 4

Na forma paramétrica temos
x=2sin(3t), y=2cos(3t)
Somando os quadrados:
x^2+y^2 =4sin^2(3t)+4cos^2(3t) =4l(sin^2(3t)+cos^2(3t)r) =4
Isso mostra que todo ponto do parâmetro pertence ao mesmo círculo de raio 2. Como 3t varre de 0 a 6pi quando t vai de 0 a 2pi, o círculo é percorrido três vezes, mas o gráfico (o conjunto de pontos) continua o mesmo.

Passo 5

Comparando todas as formas, vemos que o conjunto de pontos descrito é sempre o círculo de raio 2 centrado na origem. A única diferença é que a parametrização traz múltiplas voltas, mas não altera o gráfico.

Resposta

Verdadeira. Todas definem o círculo de raio 2 com centro na origem.

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