Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
As equações
,
têm todas o mesmo gráfico.
As equações
Passo 1
O enunciado pergunta se as três representações
- Em coordenadas polares:
, - Em coordenadas cartesianas:
, - Em forma paramétrica:
têm o mesmo gráfico. O conteúdo envolve transformação entre coordenadas e reconhecimento de curvas no plano.
Passo 2
Transformando a equação polar
para coordenadas cartesianas usamos
. Logo,
Portanto, a curva polar é exatamente o círculo de raio
centrado na origem.
Passo 3
A equação cartesiana
já define o mesmo círculo de raio
centrado na origem. Logo, as duas primeiras formas coincidem em seu conjunto de pontos.
Passo 4
Na forma paramétrica temos
Somando os quadrados:
Isso mostra que todo ponto do parâmetro pertence ao mesmo círculo de raio
. Como
varre de
a
quando
vai de
a
, o círculo é percorrido três vezes, mas o gráfico (o conjunto de pontos) continua o mesmo.
Passo 5
Comparando todas as formas, vemos que o conjunto de pontos descrito é sempre o círculo de raio
centrado na origem. A única diferença é que a parametrização traz múltiplas voltas, mas não altera o gráfico.
Resposta
Verdadeira. Todas definem o círculo de raio
com centro na origem.