Questão 4. Sejam a, b e c números naturais. Prove as seguintes propriedades básicas de ordem:
a<b se, e somente se, b=a+d para algum número natural positivo d.

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são números naturais e pede para provar a seguinte propriedade de ordem:
mostrar que
a<b \quad\text{se, e somente se,}\quad b=a+d\\ \text{ para algum número natural positivo } d.ú
Ou seja, há duas afirmações a provar:
  1. Se a<b então existe d\in\mathbb{N} com d>0 tal que b=a+d.
  2. Se existe d\in\mathbb{N} com d>0 e b=a+d então a<b.
Também é útil anotar o que entendemos por termos básicos (serão usados na prova):
  • \mathbb{N} denota o conjunto dos números naturais (aqui inclui 0).
  • Um número natural d é positivo quando d\neq 0.
  • A relação \le em \mathbb{N} pode ser caracterizada assim: a\le b se, e somente se, existe n\in\mathbb{N} tal que a+n=b.
  • A relação < é definida por a<b quando a\le b e a\neq b.

Passo 2

Vou explicar com calma a definição que vou usar para \le, porque é o pivô da prova. A afirmação
a\le b \iff \exists n\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ a+n=b
é uma descrição padrão da ordem em \mathbb{N}. Intuição: somando um número natural n a a chegamos a b exatamente quando b é maior ou igual a a. Essa equivalência pode ser tomada como um fato básico das naturais (ou derivada dos axiomas de Peano), e vou usá-la explicitamente na prova. Sempre que encontrarmos tal n, podemos chamá-lo de “diferença” b-a quando b\ge a.

Passo 3

Prova da implicação direta: suponha a<b.
Pela definição de < temos a\le b e a\neq b. Usando a caracterização de \le, existe n\in\mathbb{N} tal que
a+n=b.
Como a\neq b, não é possível que n=0; portanto n>0. Defina d:=n. Então d\in\mathbb{N}, d>0 e
b=a+d.
Isto prova a primeira direção: a<b \Rightarrow \exists d\in\mathbb{N},\,d>0:\\ b=a+d.

Passo 4

Prova da implicação reversa: suponha que exista d\in\mathbb{N} com d>0 e tal que
b=a+d.
Pela mesma caracterização de \le, a igualdade a+d=b implica a\le b. Como d>0, tem-se b\neq a. Assim a\le b e a\neq b, ou seja, a<b. Portanto
(\exists d\in\mathbb{N},\,d>0:\\ b=a+d)\\ \Rightarrow\\ a<b.

Passo 5

Comentário adicional (didático e útil na prova): a d que aparece é única quando existe. Prova curta da unicidade: se b=a+d_1=a+d_2 com d_1,d_2\in\mathbb{N}, então somando inversos formais ou usando cancelamento de soma em \mathbb{N} obtemos d_1=d_2. Isso mostra que o “diferencial” positivo entre b e a — quando a<b — é bem definido. (Não era pedido, mas é um fato prático: o d é o único número natural positivo tal que b=a+d.)

Passo 6

Resumo final do raciocínio: a equivalência segue diretamente da caracterização de \le por soma de naturais e da definição de < como \le com desigualdade estrita. As duas direções foram mostradas explicitamente.

Resposta

\displaystyle a<b \iff \exists d\in\mathbb{N},\\ d>0\\ \text{tal que}\\ b=a+d

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