Questão 4. Sejam
e
números naturais. Prove as seguintes propriedades básicas de ordem:
se, e somente se,
para algum número natural positivo
.
Passo 1
O enunciado dá que
são números naturais e pede para provar a seguinte propriedade de ordem:
mostrar que
mostrar que
Ou seja, há duas afirmações a provar:
- Se
então existe com tal que . - Se existe
com e então .
Também é útil anotar o que entendemos por termos básicos (serão usados na prova):
-
denota o conjunto dos números naturais (aqui inclui ). - Um número natural
é positivo quando . - A relação
em pode ser caracterizada assim: se, e somente se, existe tal que . - A relação
é definida por quando e .
Passo 2
Vou explicar com calma a definição que vou usar para
, porque é o pivô da prova. A afirmação
é uma descrição padrão da ordem em
. Intuição: somando um número natural
a
chegamos a
exatamente quando
é maior ou igual a
. Essa equivalência pode ser tomada como um fato básico das naturais (ou derivada dos axiomas de Peano), e vou usá-la explicitamente na prova. Sempre que encontrarmos tal
, podemos chamá-lo de “diferença”
quando
.
Passo 3
Prova da implicação direta: suponha
.
Pela definição de temos
e
. Usando a caracterização de
, existe
tal que
Pela definição de
Como
, não é possível que
; portanto
. Defina
. Então
,
e
Isto prova a primeira direção:
.
Passo 4
Prova da implicação reversa: suponha que exista
com
e tal que
Pela mesma caracterização de
, a igualdade
implica
. Como
, tem-se
. Assim
e
, ou seja,
. Portanto
Passo 5
Comentário adicional (didático e útil na prova): a
que aparece é única quando existe. Prova curta da unicidade: se
com
, então somando inversos formais ou usando cancelamento de soma em
obtemos
. Isso mostra que o “diferencial” positivo entre
e
— quando
— é bem definido. (Não era pedido, mas é um fato prático: o
é o único número natural positivo tal que
.)
Passo 6
Resumo final do raciocínio: a equivalência segue diretamente da caracterização de
por soma de naturais e da definição de
como
com desigualdade estrita. As duas direções foram mostradas explicitamente.