Questão 4. Sejam a, b e c números naturais. Prove as seguintes propriedades básicas de ordem:
(A adição preserva a ordem) a \geq b se, e somente se, a+c \geq b+c.

Passo 1

O enunciado dá que a,b,c são números naturais e pede para provar a equivalência
a \ge b \quad\text{se, e somente se,}\quad a+c \ge b+c.
Informações relevantes e definições que vamos usar (todas valem para números naturais):
  • A definição de ordem: a \ge b significa que existe n\in\mathbb{N} tal que a = b + n.
  • Propriedades elementares da adição: associatividade e comutatividade, e x+0=x.
  • Propriedade do sucessor S: se S(x)=S(y) então x=y (injeção do sucessor).
  • Vamos precisar da lei de cancelamento da adição: se x + c = y + c então x=y. Vou provar essa lei por indução sobre c antes de usá-la.

Passo 2

Provar a lei de cancelamento por indução em c:
Base ( c=0). Se x+0 = y+0 então, usando z+0=z para todo z, obtemos x=y. Logo a propriedade vale para c=0.
Passo indutivo. Suponha que para um certo c\in\mathbb{N} valha: se x+c=y+c então x=y. Mostraremos que vale para S\text{(c)} (o sucessor de c).
Suponha x+S\text{(c)}=y+S\text{(c)}. Pela definição recorrente da adição em naturais, sabe-se que x+S\text{(c)}=S(x+c) e y+S\text{(c)}=S(y+c). Assim
S(x+c)=S(y+c).
Pela injetividade do sucessor S, segue x+c=y+c. Pela hipótese indutiva, disso segue x=y. Portanto a propriedade vale para S\text{(c)}.
Concluímos por indução que, para todo c\in\mathbb{N}, se x+c=y+c então x=y. Esta é a lei de cancelamento da adição.

Passo 3

Provar a implicação direta: a \ge b \Rightarrow a+c \ge b+c.
Suponha a\ge b. Pela definição de ordem existe n\in\mathbb{N} tal que
a = b + n.
Somando c aos dois lados da igualdade (isto é, aplicando a operação +\;c em ambos os membros) obtemos, usando associatividade da adição,
a + c = (b + n) + c = b + (n + c).
Como n+c é um número natural, isto mostra que a+c é da forma (b+c') com c'=n+c; em particular existe m\in\mathbb{N} (escolher m=n+c) tal que
a+c = b + (n+c) = (b+c) + n,
o que, pela definição de ordem, significa a+c \ge b+c. Assim a adição preserva a ordem no sentido direto.

Passo 4

Provar a implicação recíproca: a+c \ge b+c \Rightarrow a \ge b.
Suponha a+c \ge b+c. Pela definição de ordem existe n\in\mathbb{N} tal que
a+c = (b+c) + n.
Pela associatividade da adição podemos reescrever o lado direito como
(b+c)+n = b + (c+n) = (b+n) + c,
ou seja
a + c = (b+n) + c.
Agora aplicamos a lei de cancelamento (provada no Passo 2) com x=a, y=b+n e o mesmo c: de a+c=(b+n)+c segue a = b + n. Pela definição de ordem isso implica a \ge b. Assim a adição preserva a ordem no sentido inverso.

Passo 5

Juntando os dois sentidos mostrados nos Passos 3 e 4, obtemos a equivalência desejada: para quaisquer a,b,c\in\mathbb{N},
a \ge b \iff a + c \ge b + c.

Resposta

\forall\,a,b,c\in\mathbb{N},\; a\ge b \iff a+c \ge b+c

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