Questão:
a) (1.5). Sejam , deriváveis até a ordem. Mostre que a função
satisfaz a igualdade
b) (2.0). Considere a função , onde , sendo constantes não nulas. Se o plano de equação é tangente ao gráfico de no ponto ( ), determine o valor do produto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas questões para resolver, ambas envolvendo cálculo diferencial e funções de várias variáveis. Na primeira, vamos mostrar que uma certa combinação de derivadas parciais de uma função $ u(x, y) $ resulta em zero. Na segunda, vamos encontrar o produto de três constantes $ a $, $ b $ e $ c $ dadas algumas condições de tangência entre um plano e a superfície de uma função. Para resolver esses problemas, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais, regras de diferenciação e propriedades de planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) da questão. Queremos mostrar que:
para a função:
Passo 3
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ u(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $, até a segunda ordem. Vamos começar encontrando as primeiras derivadas.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $:
Explicando: Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. O termo $ x \cdot f(x+y) $ derivado em $ x $ dá $ f(x+y) + x \cdot f’(x+y) $, e o termo $ y \cdot g(x+y) $ derivado em $ x $ dá $ y \cdot g’(x+y) $.
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos derivar novamente essa expressão em relação a $ x $ para obter $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} $:
Novamente, aplicamos a regra da cadeia em cada termo.
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ u $ em relação a $ y $:
Simplificando:
Passo 7
Em seguida, derivamos essa expressão em relação a $ y $ para obter $ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} $:
Simplificando:
Passo 8
Também precisamos calcular a derivada mista $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} $. Vamos derivar $ \frac{\partial u}{\partial x} $ em relação a $ y $:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos montar a expressão que precisamos mostrar ser zero:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 10
Vamos simplificar a expressão passo a passo:
Expanda todos os termos:
Agrupe os termos semelhantes:
Simplifique cada grupo:
Passo 11
Como todos os termos se cancelam, temos que a expressão é igual a zero:
Isso confirma o que queríamos mostrar.
Passo 12
Agora, vamos para a parte b) da questão. Temos a função $ z = f(x, y) $ definida pela equação:
Sabemos que o plano $ 2x + y - 3z = 0 $ é tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 1, 1) $. Precisamos encontrar o valor do produto $ a b c $.
Passo 13
Primeiro, vamos entender o que significa que o plano é tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 1, 1) $. Isso implica que as derivadas parciais de $ z $ em $ x $ e $ y $ no ponto $ (1,1) $ devem coincidir com os coeficientes do plano tangente.
Passo 14
Vamos reescrever a equação dada para $ z $:
Portanto, a função $ f(x, y) $ é:
Passo 15
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
No ponto $ (1, 1) $, essas derivadas são:
partial fpartial x = 2 a x + b yc
Passo 16
O plano tangente à superfície no ponto $ (1, 1, 1) $ é dado por:
z - z0 = partial fpartial x (x - x0) + partial fpartial y (y - y0)
Passo 17
Vamos reorganizar essa equação para a forma padrão do plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $:
Multiplicando tudo por $ c $ para eliminar o denominador:
Ax + By + Cz + D = 0
Expandindo:
c
Rearranjando termos:
c(z - 1) = (2a + b)(x - 1) + b(y - 1)
Passo 18
Comparando com o plano dado $ 2x + y - 3z = 0 $, temos:
2x + y - 3z = 0
(2a + b) = 2
b = 1
Passo 19
Agora, podemos substituir $ b = 1 $ na primeira equação:
b = 1
Passo 20
Finalmente, temos os valores:
a = 12, b = 1, c = 3
Então, o produto $ a b c $ é:
a b c
Resposta
a) Mostramos que partial^2 upartial x^2 - 2 partial^2 upartial x partial y + partial^2 upartial y^2 = 0 para a função u(x, y) = x cdot f(x+y) + y cdot g(x+y).