2^ a Questão:
a) (1.5). Sejam f, g: R R, deriváveis até a 2^a ordem. Mostre que a função
u(x, y)=x cdot f(x+y)+y cdot g(x+y)
satisfaz a igualdade
partial^2 upartial x^2-2 partial^2 upartial x partial y+partial^2 upartial y^2=0
b) (2.0). Considere a função z=f(x, y), onde a x^2+b x y-c z=2, sendo a, b, c constantes não nulas. Se o plano de equação 2 x+y-3 z=0 é tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,1,1 ), determine o valor do produto a b c.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas questões para resolver, ambas envolvendo cálculo diferencial e funções de várias variáveis. Na primeira, vamos mostrar que uma certa combinação de derivadas parciais de uma função $ u(x, y) $ resulta em zero. Na segunda, vamos encontrar o produto de três constantes $ a $, $ b $ e $ c $ dadas algumas condições de tangência entre um plano e a superfície de uma função. Para resolver esses problemas, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais, regras de diferenciação e propriedades de planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) da questão. Queremos mostrar que:
partial^2 upartial x^2 - 2 partial^2 upartial x partial y + partial^2 upartial y^2 = 0
para a função:
u(x, y) = x cdot f(x+y) + y cdot g(x+y)

Passo 3

Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de $ u(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $, até a segunda ordem. Vamos começar encontrando as primeiras derivadas.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ u $ em relação a $ x $:
u
Explicando: Aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. O termo $ x \cdot f(x+y) $ derivado em $ x $ dá $ f(x+y) + x \cdot f’(x+y) $, e o termo $ y \cdot g(x+y) $ derivado em $ x $ dá $ y \cdot g’(x+y) $.
Simplificando:
x

Passo 5

Agora, vamos derivar novamente essa expressão em relação a $ x $ para obter $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} $:
x
Novamente, aplicamos a regra da cadeia em cada termo.
Simplificando:
partial^2 upartial x^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ u $ em relação a $ y $:
u
Simplificando:
y

Passo 7

Em seguida, derivamos essa expressão em relação a $ y $ para obter $ \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} $:
y
Simplificando:
partial^2 upartial y^2

Passo 8

Também precisamos calcular a derivada mista $ \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} $. Vamos derivar $ \frac{\partial u}{\partial x} $ em relação a $ y $:
partial^2 upartial x partial y
Simplificando:
partial upartial x

Passo 9

Agora, vamos montar a expressão que precisamos mostrar ser zero:
partial^2 upartial x^2 - 2 partial^2 upartial x partial y + partial^2 upartial y^2 = 0
Substituindo as derivadas que calculamos:
[2 f'(x+y) + x f''(x+y) + y g''(x+y)] - 2 [f'(x+y) + x f''(x+y) + g'(x+y) + y g''(x+y)] + [x f''(x+y) + 2 g'(x+y) + y g''(x+y)] = 0

Passo 10

Vamos simplificar a expressão passo a passo:
  1. Expanda todos os termos:
2 f' + x f'' + y g'' - 2 f' - 2 x f'' - 2 g' - 2 y g'' + x f'' + 2 g' + y g'' = 0
  1. Agrupe os termos semelhantes:
(2 f' - 2 f') + (x f'' - 2 x f'' + x f'') + (y g'' - 2 y g'' + y g'') + (-2 g' + 2 g') = 0
  1. Simplifique cada grupo:
0 + 0 + 0 + 0 = 0

Passo 11

Como todos os termos se cancelam, temos que a expressão é igual a zero:
partial^2 upartial x^2 - 2 partial^2 upartial x partial y + partial^2 upartial y^2 = 0
Isso confirma o que queríamos mostrar.

Passo 12

Agora, vamos para a parte b) da questão. Temos a função $ z = f(x, y) $ definida pela equação:
z = f(x, y)
Sabemos que o plano $ 2x + y - 3z = 0 $ é tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 1, 1) $. Precisamos encontrar o valor do produto $ a b c $.

Passo 13

Primeiro, vamos entender o que significa que o plano é tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ (1, 1, 1) $. Isso implica que as derivadas parciais de $ z $ em $ x $ e $ y $ no ponto $ (1,1) $ devem coincidir com os coeficientes do plano tangente.

Passo 14

Vamos reescrever a equação dada para $ z $:
z
Portanto, a função $ f(x, y) $ é:
a x^2 + b x y - c z = 2 implies z = a x^2 + b x y - 2c

Passo 15

Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $:
f
x
No ponto $ (1, 1) $, essas derivadas são:
y
partial fpartial x = 2 a x + b yc

Passo 16

O plano tangente à superfície no ponto $ (1, 1, 1) $ é dado por:
(1, 1, 1)
Onde $ (x_0, y_0, z_0) = (1, 1, 1) $. Substituindo:
z - z0 = partial fpartial x (x - x0) + partial fpartial y (y - y0)

Passo 17

Vamos reorganizar essa equação para a forma padrão do plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $:
Multiplicando tudo por $ c $ para eliminar o denominador:
Ax + By + Cz + D = 0
Expandindo:
c
Rearranjando termos:
c(z - 1) = (2a + b)(x - 1) + b(y - 1)

Passo 18

Comparando com o plano dado $ 2x + y - 3z = 0 $, temos:
2x + y - 3z = 0
(2a + b) = 2
b = 1

Passo 19

Agora, podemos substituir $ b = 1 $ na primeira equação:
b = 1

Passo 20

Finalmente, temos os valores:
a = 12, b = 1, c = 3
Então, o produto $ a b c $ é:
a b c

Resposta

a) Mostramos que partial^2 upartial x^2 - 2 partial^2 upartial x partial y + partial^2 upartial y^2 = 0 para a função u(x, y) = x cdot f(x+y) + y cdot g(x+y).
b) O valor do produto a b c é 32.

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