Determine a integral integral x^3-3 x+5raiz[3]x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^3-3 x+5raiz[3]x , dx. Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, especialmente a simplificação de expressões algébricas para facilitar a integração. Vamos precisar reescrever a expressão de forma mais simples e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador raiz[3]x. Sabemos que raiz[3]x = x^1/3. Então, podemos reescrever a integral como:
integral x^3 - 3x + 5x^1/3 , dx

Passo 3

Agora, dividimos cada termo do numerador pelo denominador separadamente. Lembre-se que quando dividimos potências com a mesma base, subtraímos os expoentes:
x^3x^1/3 = x^3 - 1/3 = x^8/3
-3xx^1/3 = -3x^1 - 1/3 = -3x^2/3
5x^1/3 = 5x^-1/3
Portanto, a integral fica:
integral x^8/3 - 3x^2/3 + 5x^-1/3 , dx

Passo 4

Agora, integramos cada termo separadamente. A regra básica de integração para potências de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (onde n neq -1)
Vamos aplicar essa regra a cada termo:
  1. Para x^8/3:
integral x^8/3 , dx = x^8/3 + 18/3 + 1 = x^11/311/3 = 311x^11/3
  1. Para -3x^2/3:
integral -3x^2/3 , dx = -3 cdot x^2/3 + 12/3 + 1 = -3 cdot x^5/35/3 = -3 cdot 35x^5/3 = -95x^5/3
  1. Para 5x^-1/3:
integral 5x^-1/3 , dx = 5 cdot x^-1/3 + 1-1/3 + 1 = 5 cdot x^2/32/3 = 5 cdot 32x^2/3 = 152x^2/3

Resposta

Juntando todas as partes integradas, temos:
integral x^3-3 x+5raiz[3]x , dx = 311x^11/3 - 95x^5/3 + 152x^2/3 + C

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