O sistema em questão possui duas entradas e uma saída. Faça o que é pedido:
a) Mostre se o sistema é controlável e indique quantos e quais autovalores desse sistema não são controláveis se for o caso;
b) Mostre se o sistema é observável e indique quantos e quais autovalores desse sistema não são observáveis se for o caso.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear no espaço de estados com
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]4 & -2\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]1 & -1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},
e pede para verificar controlabilidade e observabilidade, indicando quantos e quais autovalores, se houver, não o são.]
Passo 2
Calcular os autovalores de A resolvendo \det(A - \lambda I)=0.
Basta verificar se as colunas \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 6\end{pmatrix} são linearmente independentes. O determinante da submatriz 2\times 2 formada por elas é 1\cdot6-0\cdot1=6\neq0.
Como \operatorname{rank}(\mathcal{C})=2, o sistema é completamente controlável. Logo, não há nenhum autovalor não controlável.]
O determinante é 1\cdot1-0\cdot1=1\neq0, portanto \operatorname{rank}(\mathcal{O})=2.
Como a matriz \mathcal{O} tem posto máximo, o sistema é completamente observável. Logo, não há nenhum autovalor não observável.]
Resposta
(a) O sistema é controlável; não existem autovalores não controláveis.
(b) O sistema é observável; não existem autovalores não observáveis.