Considere o seguinte sistema:
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\\\ 4 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 1 & -1 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} u_{1} \\\ u_{2} \end{array}\right]} \\\ & y=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right] \end{aligned}
O sistema em questão possui duas entradas e uma saída. Faça o que é pedido:
a) Mostre se o sistema é controlável e indique quantos e quais autovalores desse sistema não são controláveis se for o caso;
b) Mostre se o sistema é observável e indique quantos e quais autovalores desse sistema não são observáveis se for o caso.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear no espaço de estados com
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]4 & -2\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]1 & -1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},
e pede para verificar controlabilidade e observabilidade, indicando quantos e quais autovalores, se houver, não o são.]

Passo 2

Calcular os autovalores de A resolvendo \det(A - \lambda I)=0.
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[3pt]4 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda)-4 = \lambda^2+\lambda-6.
As raízes são
\lambda^2+\lambda-6=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = -3.]

Passo 3

Montar a matriz de controlabilidade
\mathcal{C} = \bigl[B\;\;A\,B\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\[3pt] 1 & -1 & 6 & -6 \end{pmatrix}.
Basta verificar se as colunas \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 6\end{pmatrix} são linearmente independentes. O determinante da submatriz 2\times 2 formada por elas é 1\cdot6-0\cdot1=6\neq0.
Como \operatorname{rank}(\mathcal{C})=2, o sistema é completamente controlável. Logo, não há nenhum autovalor não controlável.]

Passo 4

Montar a matriz de observabilidade
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C\\[3pt] C\,A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[3pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante é 1\cdot1-0\cdot1=1\neq0, portanto \operatorname{rank}(\mathcal{O})=2.
Como a matriz \mathcal{O} tem posto máximo, o sistema é completamente observável. Logo, não há nenhum autovalor não observável.]

Resposta

(a) O sistema é controlável; não existem autovalores não controláveis.
(b) O sistema é observável; não existem autovalores não observáveis.

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