QUESTÃO 4
A indústria oleaginosa de Bacabal (MA) opera prensas hidráulicas contínuas para a compactação da torta de babaçu - resíduo sólido remanescente da extração do óleo, comercializado como ração animal e combustível de caldeiras. Cada prensa possui êmbolo vertical cujo retorno, após a abertura da câmara de saída do fardo, é feito por uma mola helicoidal robusta dimensionada para alta ciclagem. O fornecedor especificou a mola em aço SAE 1065 (
) com arame de diâmetro
, índice
e tensão de cisalhamento admissível em serviço médio
. A constante elástica desejada para manter o tempo de retorno dentro do ciclo de produção é
.
Determine:
a) O número de espiras necessárias;
b) A deflexão máxima permissível antes de atingir a tensão admissível.
a) O número de espiras necessárias;
b) A deflexão máxima permissível antes de atingir a tensão admissível.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
-
Dados (peguei todos do enunciado):
- Módulo de cisalhamento:
. - Diâmetro do arame:
. - Índice da mola:
(ou seja, diâmetro médio da espira ). - Tensão de cisalhamento admissível:
. - Constante elástica desejada:
.
- Módulo de cisalhamento:
-
Perguntas:
(a) Determinar o número de espiras necessárias.
(b) Determinar a deflexão máxima permissível antes de atingir a tensão admissível.
Passo 2
Vamos achar o número de espiras necessárias a partir da expressão da constante elástica de uma mola helicoidal de arame redondo (espiras circulares, comportamento por torção do arame). A fórmula padrão é:
onde
-
é a constante elástica (força por unidade de deflexão), em ; -
é o módulo de cisalhamento do material, em ; -
é o diâmetro do arame, em ; -
é o número de espiras ativas (a que contribuem para a deformação); -
é o diâmetro médio da espira, em .
Explicando de forma simples: essa fórmula vem do fato de que cada volta de arame é submetida a um torque proporcional à força aplicada, e a rigidez total cresce com
(mais grossa → muito mais rígida) e diminui com
e com o número de espiras
(mais espiras → mais “flexível”).
Isolando
:
Agora calculamos passo a passo (uso
e
):
Numerador:
Denominador:
Portanto:
Interpretação prática: são necessárias aproximadamente
espiras ativas. Na prática escolhe-se um número inteiro; para garantir que a mola atinja a rigidez desejada normalmente arredonda-se para cima:
-
espiras ativas (próximo inteiro que atende o requisito).
Observação prática (curta): se a mola for terminada com duas espiras finais “fechadas” para apoio, o número total de espiras físicas pode ser
, mas a pergunta pediu o número de espiras necessárias (entendi como espiras ativas).
Passo 3
Agora vamos calcular a deflexão máxima permissível antes de se atingir a tensão admissível
.
- Fórmula da tensão máxima em uma mola de arame redondo sob carga axial
:
onde
-
é a força aplicada (N); -
é o fator de correção de Wahl (corrige efeito de concentração de tensões por curvatura e cisalhamento direto); -
como antes; - a expressão sem
dá a componente de torção; aumenta esse valor para representar a concentração real.
- Fórmula prática para o fator de Wahl (valor usualmente usado em exercícios):
onde
. Para
:
- Relação entre força
e deflexão :
Substituindo em
e impondo
(situação limite), isolamos
:
- Agora substituímos os valores numéricos (tudo em mm e N):
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Calculamos o numerador:
Calculamos o denominador:
Logo
(Em metros:
.)
Como verificação rápida: a força correspondente é
. Se essa força for colocada na fórmula da tensão com o fator
, obtém-se próximo de
, confirmando o cálculo.
Passo 4
Resumo interpretativo e recomendações curtas (para prova / projeto):
- Matemática: a constante da mola cresce com
e decresce com e com o número de espiras; por isso mudanças pequenas em alteram muito a rigidez. - O fator de Wahl é importante para estimar a tensão real; sem ele a tensão é subestimada.
- Em provas, apresente sempre as unidades consistentes (use mm e N para molas pequenas) e mostre os passos: calcular
via , aplicar a fórmula de , isolar , depois usar a expressão da tensão com para obter . - Na prática final, arredonde o número de espiras para inteiro (aumentar para cima se quiser garantir a rigidez alvo) e note que outras limitações construtivas (comprimento livre, limite de compressão/encosto das espiras) também restringem a deflexão máxima — mas isso foge do cálculo solicitado.
Resposta
(a)
(usar
espiras ativas na prática).
(b) (aprox.
).
(b)