QUESTÃO 4

A indústria oleaginosa de Bacabal (MA) opera prensas hidráulicas contínuas para a compactação da torta de babaçu - resíduo sólido remanescente da extração do óleo, comercializado como ração animal e combustível de caldeiras. Cada prensa possui êmbolo vertical cujo retorno, após a abertura da câmara de saída do fardo, é feito por uma mola helicoidal robusta dimensionada para alta ciclagem. O fornecedor especificou a mola em aço SAE 1065 ( G=78400 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} ) com arame de diâmetro d_{a}=12 \mathrm{~mm}, índice C=7 e tensão de cisalhamento admissível em serviço médio \tau_{a d m}=610 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2}. A constante elástica desejada para manter o tempo de retorno dentro do ciclo de produção é k=15 \mathrm{kN} / \mathrm{m}.
Determine:
a) O número de espiras necessárias;
b) A deflexão máxima permissível antes de atingir a tensão admissível.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados (peguei todos do enunciado):
    • Módulo de cisalhamento: G=78400\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
    • Diâmetro do arame: d_{a}=12\\ \mathrm{mm}.
    • Índice da mola: C=7 (ou seja, diâmetro médio da espira D=C d_{a}).
    • Tensão de cisalhamento admissível: \tau_{adm}=610\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
    • Constante elástica desejada: k=15\\ \mathrm{kN/m}=15\\ \mathrm{N/mm}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o número de espiras necessárias.
    (b) Determinar a deflexão máxima permissível antes de atingir a tensão admissível.

Passo 2

Vamos achar o número de espiras necessárias a partir da expressão da constante elástica de uma mola helicoidal de arame redondo (espiras circulares, comportamento por torção do arame). A fórmula padrão é:
k=\dfrac{G d^{4}}{8 n D^{3}},
onde
  • k é a constante elástica (força por unidade de deflexão), em \mathrm{N/mm};
  • G é o módulo de cisalhamento do material, em \mathrm{N/mm^{2}};
  • d é o diâmetro do arame, em \mathrm{mm};
  • n é o número de espiras ativas (a que contribuem para a deformação);
  • D é o diâmetro médio da espira, em \mathrm{mm}.
Explicando de forma simples: essa fórmula vem do fato de que cada volta de arame é submetida a um torque proporcional à força aplicada, e a rigidez total cresce com d^{4} (mais grossa → muito mais rígida) e diminui com D^{3} e com o número de espiras n (mais espiras → mais “flexível”).
Isolando n:
n=\dfrac{G d^{4}}{8 k D^{3}}.
Agora calculamos passo a passo (uso d= d_{a}=12\\ \mathrm{mm} e D=C d=7\cdot12=84\\ \mathrm{mm}):
d^{4}=12^{4}=20736\\ \mathrm{mm^{4}},
D^{3}=84^{3}=592704\\ \mathrm{mm^{3}}.
Numerador:
G d^{4}=78400\cdot20736=1\,625\,702\,400.
Denominador:
8 k D^{3}=8\cdot15\cdot592704=71\,124\,480.
Portanto:
n=\dfrac{1\,625\,702\,400}{71\,124\,480}\approx22{,}86.
Interpretação prática: são necessárias aproximadamente \,22{,}86 espiras ativas. Na prática escolhe-se um número inteiro; para garantir que a mola atinja a rigidez desejada normalmente arredonda-se para cima:
  • n_{ativas}=23 espiras ativas (próximo inteiro que atende o requisito).
Observação prática (curta): se a mola for terminada com duas espiras finais “fechadas” para apoio, o número total de espiras físicas pode ser n_{total}=n_{ativas}+2\approx25, mas a pergunta pediu o número de espiras necessárias (entendi como espiras ativas).

Passo 3

Agora vamos calcular a deflexão máxima permissível antes de se atingir a tensão admissível \tau_{adm}.
  1. Fórmula da tensão máxima em uma mola de arame redondo sob carga axial F:
\tau_{\max}=K\,\dfrac{8 F D}{\pi d^{3}},
onde
  • F é a força aplicada (N);
  • K é o fator de correção de Wahl (corrige efeito de concentração de tensões por curvatura e cisalhamento direto);
  • d,D como antes;
  • a expressão sem K dá a componente de torção; K aumenta esse valor para representar a concentração real.
  1. Fórmula prática para o fator de Wahl (valor usualmente usado em exercícios):
K=\dfrac{4C-1}{4C-4}+\dfrac{0{,}615}{C},
onde C=D/d. Para C=7:
K=\dfrac{4\cdot7-1}{4\cdot7-4}+\dfrac{0{,}615}{7}=\dfrac{27}{24}+0{,}087857\approx1{,}125+0{,}087857\approx1{,}212857.
  1. Relação entre força F e deflexão \delta:
F=k\,\delta.
Substituindo em \tau_{\max} e impondo \tau_{\max}=\tau_{adm} (situação limite), isolamos \delta:
\tau_{adm}=K\,\dfrac{8 (k\delta) D}{\pi d^{3}} \quad\Rightarrow\quad \delta_{\max}=\dfrac{\tau_{adm}\,\pi d^{3}}{8 k D K}.
  1. Agora substituímos os valores numéricos (tudo em mm e N):
  • d^{3}=12^{3}=1728\\ \mathrm{mm^{3}}.
  • \tau_{adm}=610\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
  • k=15\\ \mathrm{N/mm}.
  • D=84\\ \mathrm{mm}.
  • K\approx1{,}212857.
  • \pi\approx3{,}14159265.
Calculamos o numerador:
\tau_{adm}\,\pi d^{3}=610\cdot\pi\cdot1728\approx3\,311\,490.
Calculamos o denominador:
8 k D K=8\cdot15\cdot84\cdot1{,}212857\approx12\,226{,}0.
Logo
\delta_{\max}\approx\dfrac{3\,311\,490}{12\,226{,}0}\approx270{,}8\\ \mathrm{mm}.
(Em metros: \delta_{\max}\approx0{,}2708\\ \mathrm{m}.)
Como verificação rápida: a força correspondente é F_{\max}=k\delta_{\max}=15\cdot270{,}8\approx4\,062\\ \mathrm{N}. Se essa força for colocada na fórmula da tensão com o fator K, obtém-se próximo de \tau_{adm}, confirmando o cálculo.

Passo 4

Resumo interpretativo e recomendações curtas (para prova / projeto):
  • Matemática: a constante da mola cresce com d^{4} e decresce com D^{3} e com o número de espiras; por isso mudanças pequenas em d alteram muito a rigidez.
  • O fator de Wahl é importante para estimar a tensão real; sem ele a tensão é subestimada.
  • Em provas, apresente sempre as unidades consistentes (use mm e N para molas pequenas) e mostre os passos: calcular D via C, aplicar a fórmula de k, isolar n, depois usar a expressão da tensão com K para obter \delta_{\max}.
  • Na prática final, arredonde o número de espiras para inteiro (aumentar para cima se quiser garantir a rigidez alvo) e note que outras limitações construtivas (comprimento livre, limite de compressão/encosto das espiras) também restringem a deflexão máxima — mas isso foge do cálculo solicitado.

Resposta

(a) n\approx22{,}86 (usar n=23 espiras ativas na prática).
(b) \delta_{\max}\approx270{,}8\\ \mathrm{mm} (aprox. 0{,}2708\\ \mathrm{m}).

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