Questão 9 - O sinal de tempo contínuo
\mathrm{x}_{\mathrm{c}}(\mathrm{t})=\cos (4000 \pi \mathrm{t})
é amostrado com um período de amostragem T para se obter o sinal de tempo discreto x[n]=\cos [n \pi / 3]
(a) Determine uma escolha para T consistente com esta informação.
(b) A sua escolha por T na parte (a) é única? Se sim, explique por quê. Caso contrário, especifique outra escolha de T consistente com as informações fornecidas.

Passo 1

O enunciado dá o sinal contínuo
x_c(t)=\cos\bigl(4000\pi\,t\bigr)
e diz que, ao amostrar com período T, obtemos o sinal discreto
x[n]=\cos\!\bigl(n\,\tfrac{\pi}{3}\bigr).
O conteúdo aqui é o mapeamento entre frequência angular analógica \omega_0 e frequência angular digital \Omega_0, usando
\Omega_0 = \omega_0\,T \;(\bmod\,2\pi).

Passo 2

Extraímos a frequência angular analógica \omega_0 do argumento de x_c(t):
x_c(t)=\cos(\omega_0\,t) \quad\Longrightarrow\quad \omega_0 = 4000\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 3

No sinal discreto temos
x[n]=\cos(\Omega_0\,n) \quad\Longrightarrow\quad \Omega_0 = \frac{\pi}{3}\\ \text{rad}.
A relação de amostragem com aliasing é
\omega_0\,T = \Omega_0 + 2\pi\,m, \quad m\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Resolvendo para T:
T = \frac{\Omega_0 + 2\pi\,m}{\omega_0} = \frac{\tfrac{\pi}{3} + 2\pi\,m}{4000\pi} = \frac{1 + 6m}{12000}\\ \text{segundos}.
Para m=0 obtemos a menor escolha positiva
T = \frac{1}{12000}\,\text{s}.

Passo 5

Como m pode ser qualquer inteiro que torne T>0, há infinitas escolhas. Por exemplo, para m=1
T = \frac{1 + 6\cdot1}{12000} = \frac{7}{12000}\,\text{s}
também satisfaz \omega_0T\equiv\pi/3\pmod{2\pi}.

Resposta

(a) \displaystyle T=\frac{1}{12000}\,\text{s}.
(b) Não é única. Em geral
T=\frac{1+6m}{12000}\,\text{s},\quad m\in\mathbb{Z},
por exemplo m=1\Rightarrow T=7/12000\,\text{s}.

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