Questão 4 - Utilizando a resposta em frequência H\left(e^{j \omega}\right) para o SLID descrito por sua EDL:
y[n]=x[n]-\frac{1}{2} y[n-1]
determine:
a) O autovalor para a entrada: x[n]=\cos \left[\frac{\pi}{2} n\right]
b) A resposta de estado permanente a: x[n]=\cos \left[\frac{\pi}{3} n\right]
c) O ganho em decibéis para a frequência \omega=\frac{\pi}{2}
d) Plote a resposta de amplitude do SLID entre 0 e \pi. Use as frequências:
O enunciado dá um sistema discreto linear invariante no tempo (SLIT) descrito pela equação de diferença
y[n]=x[n]-\tfrac12\,y[n-1]
e pede:
a) o autovalor para entrada x[n]=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}n\bigr);
b) a resposta em regime permanente para x[n]=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}n\bigr);
c) o ganho em decibéis em \omega=\tfrac{\pi}{2};
d) a resposta de amplitude \bigl|H(e^{j\omega})\bigr| nos pontos \omega=\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{6},\pi.
O conteúdo aplicado será resposta em frequência de SLIT, interpretação fasorial e conversão para ganho em dB.
Passo 2
Vamos achar a resposta em frequência H(e^{j\omega}). Reescrevendo a diferença como
y[n]+\tfrac12\,y[n-1]=x[n],
aplicando a transformada de Fourier discreta (substituindo y[n]\leftrightarrow Y(e^{j\omega}) e x[n]\leftrightarrow X(e^{j\omega})) obtemos
Para entrada x[n]=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}n\bigr), o sistema responde no regime permanente com o mesmo senoide multiplicado por H\bigl(e^{j\pi/2}\bigr). Esse fator é o autovalor complexo:
Nos pontos pedidos obtém-se aproximadamente:
para \omega=\tfrac{\pi}{6}, |H|\approx0,6875; \tfrac{\pi}{4}, |H|\approx0,715; \tfrac{\pi}{3}, |H|\approx0,7559; \tfrac{\pi}{2}, |H|\approx0,8944; \tfrac{2\pi}{3}, |H|\approx1,1547; \tfrac{3\pi}{4}, |H|\approx1,356; \tfrac{5\pi}{6}, |H|\approx1,613; \pi, |H|=2.
Esse conjunto de pontos define a curva de amplitude no intervalo [0,\pi].