Questão 4 - Utilizando a resposta em frequência H\left(e^{j \omega}\right) para o SLID descrito por sua EDL:
y[n]=x[n]-\frac{1}{2} y[n-1]
determine:
a) O autovalor para a entrada: x[n]=\cos \left[\frac{\pi}{2} n\right]
b) A resposta de estado permanente a: x[n]=\cos \left[\frac{\pi}{3} n\right]
c) O ganho em decibéis para a frequência \omega=\frac{\pi}{2}
d) Plote a resposta de amplitude do SLID entre 0 e \pi. Use as frequências:
\omega=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{6}, \pi

Passo 1

O enunciado dá um sistema discreto linear invariante no tempo (SLIT) descrito pela equação de diferença
y[n]=x[n]-\tfrac12\,y[n-1]
e pede:
a) o autovalor para entrada x[n]=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}n\bigr);
b) a resposta em regime permanente para x[n]=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}n\bigr);
c) o ganho em decibéis em \omega=\tfrac{\pi}{2};
d) a resposta de amplitude \bigl|H(e^{j\omega})\bigr| nos pontos \omega=\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{6},\pi.
O conteúdo aplicado será resposta em frequência de SLIT, interpretação fasorial e conversão para ganho em dB.

Passo 2

Vamos achar a resposta em frequência H(e^{j\omega}). Reescrevendo a diferença como
y[n]+\tfrac12\,y[n-1]=x[n],
aplicando a transformada de Fourier discreta (substituindo y[n]\leftrightarrow Y(e^{j\omega}) e x[n]\leftrightarrow X(e^{j\omega})) obtemos
\Bigl(1+\tfrac12 e^{-j\omega}\Bigr)Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega}) \quad\Longrightarrow\quad H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})} =\frac{1}{1+\tfrac12 e^{-j\omega}}.

Passo 3

Para entrada x[n]=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}n\bigr), o sistema responde no regime permanente com o mesmo senoide multiplicado por H\bigl(e^{j\pi/2}\bigr). Esse fator é o autovalor complexo:
H\bigl(e^{j\pi/2}\bigr) =\frac{1}{1+\tfrac12e^{-j\pi/2}} =\frac{1}{1-\tfrac{j}{2}} =\frac{1+j/2}{1+(1/2)^2} =\frac{4}{5}+\j\,\frac{2}{5}.

Passo 4

Para x[n]=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{3}n\bigr), o regime permanente é
y_{\infty}[n] =\bigl|H(e^{j\pi/3})\bigr|\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}n+\arg H(e^{j\pi/3})\Bigr).
Calculando
H\bigl(e^{j\pi/3}\bigr) =\frac{1}{1+\tfrac12e^{-j\pi/3}} =\frac{5/7+\j\,(\sqrt3/7)},
temos
\bigl|H(e^{j\pi/3})\bigr|=\frac{2}{\sqrt7}, \quad \arg H(e^{j\pi/3})=\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt3/7}{5/7}\Bigr)=\arctan\!\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{5}\Bigr).
Logo
y_{\infty}[n] =\frac{2}{\sqrt7}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}n+\arctan\!\tfrac{\sqrt3}{5}\Bigr).

Passo 5

O ganho em decibéis para \omega=\tfrac{\pi}{2} é
|H(e^{j\pi/2})|=\sqrt{\bigl(\tfrac45\bigr)^2+\bigl(\tfrac25\bigr)^2} =\sqrt{0,8}=0,8944
G_{\rm dB} =20\log_{10}\bigl(0,8944\bigr)\approx-0,97\\ \text{dB}.

Passo 6

Em geral
|H(e^{j\omega})| =\frac{1}{\sqrt{\bigl(1+0,5\cos\omega\bigr)^2+(0,5\sin\omega)^2}}.
Nos pontos pedidos obtém-se aproximadamente:
para \omega=\tfrac{\pi}{6}, |H|\approx0,6875;
\tfrac{\pi}{4}, |H|\approx0,715;
\tfrac{\pi}{3}, |H|\approx0,7559;
\tfrac{\pi}{2}, |H|\approx0,8944;
\tfrac{2\pi}{3}, |H|\approx1,1547;
\tfrac{3\pi}{4}, |H|\approx1,356;
\tfrac{5\pi}{6}, |H|\approx1,613;
\pi, |H|=2.
Esse conjunto de pontos define a curva de amplitude no intervalo [0,\pi].

Resposta

a) O autovalor é
\lambda=H\bigl(e^{j\pi/2}\bigr)=\frac{4}{5}+\j\,\frac{2}{5}.
b)
y_{\infty}[n] =\frac{2}{\sqrt7}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}n+\arctan\!\tfrac{\sqrt3}{5}\Bigr).
c)
G_{\rm dB}\bigl(\omega=\tfrac{\pi}{2}\bigr)\approx-0,97\\ \text{dB}.
d)
|H(e^{j\omega})|\approx \begin{cases} 0,6875,&\omega=\tfrac{\pi}{6},\\\\ 0,715, &\tfrac{\pi}{4},\\\\ 0,7559,&\tfrac{\pi}{3},\\\\ 0,8944,&\tfrac{\pi}{2},\\\\ 1,1547,&\tfrac{2\pi}{3},\\\\ 1,356, &\tfrac{3\pi}{4},\\\\ 1,613, &\tfrac{5\pi}{6},\\\\ 2,000, &\pi. \end{cases}

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