Questão 4. Sobre testes de hipóteses, responda:
(a) O que é uma hipótese estatística? Indique e defina os tipos de hipóteses.
(b) O que é um teste de hipóteses?
(c) O que é um erro tipo I? O que é um erro tipo II?
(d) O que é e como é interpretado um valor-p?
(e) Sob quais circunstâncias você utiliza um teste unilateral ou bilateral?

Passo 1

O enunciado pede que a gente discuta conceitos básicos de teste de hipóteses em estatística:
  • (a) o que é hipótese estatística e seus tipos;
  • (b) o que é um teste de hipóteses;
  • (c) erro tipo I e erro tipo II;
  • (d) definição e interpretação de valor-p;
  • (e) quando usar teste unilateral ou bilateral.
    Para resolver, vamos recorrer à teoria de decisão estatística e aos conceitos de probabilidade condicionada.

Passo 2

Uma hipótese estatística é uma suposição sobre o valor de um parâmetro populacional (por exemplo, média ou proporção). Em geral dividimos em:
\bullet Hipótese nula ( H_0): é a afirmação que assumimos verdadeira até termos evidência contrária. Ex.: \mu=\mu_0.
\bullet Hipótese alternativa ( H_1): é a afirmação oposta ou complementar que queremos testar. Pode ser \mu\neq\mu_0, \mu>\mu_0 ou \mu<\mu_0.
Além disso, hipóteses podem ser:
\bullet Simples: especificam completamente o parâmetro (ex.: H_0:\theta=\theta_0).
\bullet Compostas: definem um conjunto de valores possíveis para o parâmetro (ex.: H_1:\theta>\theta_0).

Passo 3

Um teste de hipóteses é um procedimento para, com base numa amostra, decidir entre H_0 e H_1. Ele envolve:
1. Escolher nível de significância \alpha (probabilidade máxima de erro tipo I).
2. Definir região crítica (conjunto de valores da estatística em que rejeitamos H_0).
3. Calcular a estatística de teste a partir da amostra.
4. Comparar com limiar da região crítica e decidir aceitar ou rejeitar H_0.

Passo 4

Os erros de decisão são:
\bullet Erro tipo I: rejeitar H_0 quando ela é verdadeira. Sua probabilidade é \alpha = P(\text{rejeitar }H_0\mid H_0\text{ verdadeira}).
\bullet Erro tipo II: aceitar H_0 quando H_1 é verdadeira. Sua probabilidade é \beta = P(\text{aceitar }H_0\mid H_1\text{ verdadeira}).

Passo 5

O valor-p é a menor significância \alpha para a qual a estatística observada cairia na região crítica. Em outras palavras,
\text{valor-p} = P(\text{obter teste tão extremo ou mais extremo} \mid H_0 \text{ verdadeira}).ã
Interpretação: se o valor-p for menor que \alpha, rejeitamos H_0. Um valor-p baixo indica evidência forte contra H_0.

Passo 6

A escolha entre teste unilateral e bilateral depende da forma de H_1:
\bullet Unilateral à direita ( H_1:\theta>\theta_0) ou à esquerda ( H_1:\theta<\theta_0) quando temos expectativa de efeito num único sentido.
\bullet Bilateral ( H_1:\theta\neq\theta_0) quando qualquer desvio de \theta_0 (para cima ou para baixo) é relevante.

Resposta

(a) Uma hipótese estatística é uma suposição sobre um parâmetro populacional. Temos a hipótese nula H_0 (afirmação a provar falsa) e a hipótese alternativa H_1 (afirmação complementar). Hipóteses podem ser simples (parametrizadas por um único valor) ou compostas (conjuntos de valores possíveis).
(b) Um teste de hipóteses é um procedimento de decisão que, usando uma estatística calculada da amostra e um nível de significância \alpha, define uma região crítica para rejeitar H_0 ou aceitá-la.
(c) Erro tipo I é rejeitar H_0 quando ela é verdadeira, com probabilidade \alpha. Erro tipo II é aceitar H_0 quando H_1 é verdadeira, com probabilidade \beta.
(d) O valor-p é a probabilidade, sob H_0, de obter estatística igual ou mais extrema que a observada. Interpreta-se comparando-o a \alpha: se valor-p <\alpha, rejeita-se H_0.
(e) Usa-se teste unilateral quando H_1 aponta para um único sentido ( > ou <), e teste bilateral quando H_1 é não direcional ( \neq).

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