Questão 3. O tempo para realizar uma tarefa, em segundo, foi anotado para 10 homens e 11 mulheres, igualmente treinadas. As médias e variâcias obtidas foram:
Homem Mulher
n_{1}=10 n_{2}=11
\bar{X}_{1}=45,33 \mathrm{seg} \bar{X}_{1}=43,54 \mathrm{seg}
S_{1}^{2}=1,54 \mathrm{seg}^{2} S_{2}^{2}=4,5 \mathrm{seg}^{2}
Será que os homens demoram mais tempo para realizar uma tarefa do que as mulheres? Use um teste de hipóteses para averiguar ao nível de significância de 5 \% de probabilidade. Considere que as variâncias são estatisticamente diferentes.

Passo 1

O enunciado nos dá dois conjuntos de tempos (em segundos) de uma tarefa, um para homens e outro para mulheres, com as seguintes estatísticas amostrais:
\begin{aligned} n_1 &= 10,\quad \bar X_1 = 45,33,\quad S_1^2 = 1,54,\\\ n_2 &= 11,\quad \bar X_2 = 43,54,\quad S_2^2 = 4,50.
Queremos testar, ao nível de significância de 5\%, se os homens demoram mais tempo que as mulheres. O conteúdo é o teste t para duas amostras independentes com variâncias diferentes (teste de Welch).

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\mu_1 \le \mu_2 \quad\text{vs.}\quad H_1:\mu_1 > \mu_2,
onde \mu_1 é o tempo médio dos homens e \mu_2 é o tempo médio das mulheres.

Passo 3

A estatística de teste de Welch é
t = \frac{\bar X_1 - \bar X_2} {\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}.
Calculando a diferença de médias e o erro padrão:
\bar X_1 - \bar X_2 = 45{,}33 - 43{,}54 = 1{,}79,
\sqrt{\frac{1{,}54}{10} + \frac{4{,}50}{11}} = \sqrt{0{,}154 + 0{,}4091} = \sqrt{0{,}5631} \approx 0{,}75.
Logo,
t \approx \frac{1{,}79}{0{,}75} \approx 2{,}39.

Passo 4

Os graus de liberdade aproximados pelo método de Welch são
\nu = \frac{\bigl(\tfrac{S_1^2}{n_1} + \tfrac{S_2^2}{n_2}\bigr)^2} {\frac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \frac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} \approx 16{,}3,
arredondamos para \nu = 16.

Passo 5

No teste unilateral à direita com \alpha=0{,}05 e \nu=16, o valor crítico é
t_{0{,}95,16} \approx 1{,}746.
Rejeitamos H_0 se t > 1{,}746.

Passo 6

Como t\approx2{,}39 > 1{,}746, rejeitamos H_0. Há evidência a 5\% de que \mu_1 > \mu_2, ou seja, os homens demoram mais tempo.

Resposta

Rejeita-se H_0. Os homens demoram significativamente mais do que as mulheres ao nível de 5\%.

Exercícios relacionados