Questão 5 Um sólido contém uma umidade livre inicial de X_{1}=0,38 \mathrm{~kg} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} / \mathrm{kg} sólido seco deverá ser seco até X_{2}=0,25 \mathrm{~kg} \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} / \mathrm{kg} sólido seco.
a.Estime o tempo necessário, para uma taxa de secagem constante nos tempos t_{1}=0,25 h e t_{2}=1,28 h. b. Determine o tempo de secagem usando taxa de secagem para um valor previamente determinado de Ls/A de 21,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2} e Rc =1,51 \mathrm{~kg} \mathrm{H} 2 \mathrm{O} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas estimativas de tempo de secagem:
  • Umidade inicial livre: X_{1}=0,38\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido\\ seco}ó.
  • Umidade final desejada: X_{2}=0,25\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido\\ seco}ó.
  • Para (a): tempos fornecidos t_{1}=0,25\\ \mathrm{h} e t_{2}=1,28\\ \mathrm{h} (usar hipótese de taxa de secagem constante entre esses tempos).
  • Para (b): massa de sólidos por área \mathrm{Ls/A}=21,5\\ \mathrm{kg/m^{2}} e taxa de secagem por área R_{c}=1,51\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/(h\cdot m^{2})}.
As perguntas:
  1. (a) Estimar o tempo necessário para a secagem supondo taxa de secagem constante usando os tempos t_{1} e t_{2}.
  2. (b) Determinar o tempo de secagem usando a taxa de secagem obtida a partir de \mathrm{Ls/A} e R_{c}.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmula que vamos usar (explicadinho, devagar e com carinho):
  • A umidade X é dada em \mathrm{kg\\ H_{2}O} por \mathrm{kg} de sólido seco. Em secagem, a taxa de variação da umidade por unidade de tempo é \dfrac{dX}{dt}. Se a taxa de secagem é constante, chamamos essa taxa de r (positiva para o módulo da perda), e introduzimos a convenção
\frac{dX}{dt} = -r.
Isto significa que, ao longo do tempo, X diminui linearmente com inclinação -r.
  • Integrando entre umidade X_{1} e X_{2} temos a relação simples para o tempo necessário t:
t = \frac{X_{1}-X_{2}}{r}.
Aqui:
  • X_{1}-X_{2} é a quantidade de água a remover por kg de sólido seco ( \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido\\ seco}ó);
  • r é a taxa de remoção de água por tempo por kg de sólido seco ( \mathrm{kg\\ H_{2}O/(h\cdot kg\\ sólido\\ seco)}ó);
  • o resultado t fica em horas.
  • No caso em que a taxa de secagem é dada por área (por exemplo R_{c} em \mathrm{kg\\ H_{2}O/(h\cdot m^{2})}), e conhecemos a massa de sólidos por área \mathrm{Ls/A} em \mathrm{kg/m^{2}}, a taxa por unidade de massa seca r é
r = \frac{R_{c}}{\mathrm{Ls/A}}.
Verificação de unidades:
\frac{\mathrm{kg/(h\cdot m^{2})}}{\mathrm{kg/m^{2}}}=\mathrm{kg/(h\cdot kg)}=\mathrm{kg\\ H_{2}O/(h\cdot kg\\ sólido\\ seco)}ó
que é a unidade desejada para usar na fórmula do tempo.

Passo 3

Resolução da parte (a) — interpretação e método:
  • A afirmação pede para estimar o tempo necessário supondo taxa de secagem constante "nos tempos t_{1} e t_{2}". A interpretação natural (e a mais direta para aplicar a fórmula) é que os pontos dados correspondem a dois instantes em que a umidade estava em X_{1} em t_{1} e em X_{2} em t_{2}, e que entre esses instantes a taxa foi constante. Nesse caso a taxa média (constante) é
r = \frac{X_{1}-X_{2}}{t_{2}-t_{1}}.
  • Uma consequência imediata é que o tempo necessário para passar de X_{1} para X_{2} é simplesmente
t = t_{2}-t_{1},
pois substituindo r na fórmula t=(X_{1}-X_{2})/r cancela o numerador e denominador.

Passo 4

Cálculo numérico da parte (a):
  • Diferença de tempos:
t = t_{2}-t_{1} = 1,28\\ \mathrm{h} - 0,25\\ \mathrm{h}.
  • Fazendo a conta:
t = 1,03\\ \mathrm{h}.
Portanto, sob a interpretação indicada (que X_{1} ocorreu em t_{1} e X_{2} em t_{2} com taxa constante entre esses instantes), o tempo necessário para secar de X_{1} a X_{2} é 1,03\\ \mathrm{h}.

Passo 5

Resolução da parte (b) — derivação da taxa por massa e cálculo do tempo:
  • Primeiro calculamos a taxa de secagem por unidade de massa seca usando
r = \frac{R_{c}}{\mathrm{Ls/A}}.
Substituindo os valores:
r = \frac{1,51}{21,5}\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/(h\cdot kg\\ sólido\\ seco)}.ó

Passo 6

Cálculo numérico de r e do tempo na parte (b):
  • Calculando r:
r = \frac{1,51}{21,5} \approx 0,0702326\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/(h\cdot kg\\ sólido\\ seco)}.ó
  • Diferença de umidades:
X_{1}-X_{2} = 0,38 - 0,25 = 0,13\\ \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido\\ seco}.ó
  • Tempo necessário:
t = \frac{X_{1}-X_{2}}{r} = \frac{0,13}{0,0702326} \approx 1,85\\ \mathrm{h}.

Passo 7

Comentário final e motivação: você viu duas maneiras de estimar o tempo — uma usando dados experimentais diretos de tempo e umidade (parte a, que resultou em 1,03\\ \mathrm{h}) e outra calculando a taxa a partir de grandezas por área (parte b, que resultou em 1,85\\ \mathrm{h}). Se na prova te derem medições de tempo versus umidade, use a diferença de tempos para taxa constante; se te derem R_{c} e \mathrm{Ls/A}, use a relação r=R_{c}/(\mathrm{Ls/A}) e depois t=(X_{1}-X_{2})/r. Força aí — tá indo bem!

Resposta

(a) 1,03\\ \mathrm{h}
(b) 1,85\\ \mathrm{h}

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