Questão 4: Determine os pontos onde a função F: U \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é contínua, onde
F(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{3} y}{x^{2}+y^{2}} ; & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 ; & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos de U\subseteq\mathbb{R}^2\) em que a função \[F(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}
é contínua.
Informações fornecidas:
  • A função está dada por uma expressão racional quando (x,y)\neq(0,0)\]. - No ponto \((0,0) a função é definida por peça separada: F(0,0)=0.
    - A tarefa natural é verificar continuidade em dois tipos de pontos: (i) pontos (x,y)\neq(0,0) e (ii) o ponto (0,0).]

Passo 2

Lembrete rápido sobre continuidade em \mathbb{R}^2 (quem estuda prova precisa saber isto):
  • Dizemos que F é contínua em um ponto a=(a_1,a_2) se
\lim_{(x,y)\to(a_1,a_2)}F(x,y)=F(a_1,a_2).
  • Uma regra prática: polinômios são contínuos, quociente de polinômios é contínuo onde o denominador é diferente de zero. Isso nos permite concluir rapidamente sobre pontos fora da origem.
Aplicando isso: para qualquer ponto (x_0,y_0) com (x_0,y_0)\neq(0,0) temos x_0^2+y_0^2>0. Então a expressão
(x,y)\mapsto \frac{x^3 y}{x^2+y^2}
é quociente de polinômios com denominador não nulo numa vizinhança de (x_0,y_0). Portanto essa função é contínua em todo ponto (x_0,y_0)\neq(0,0).

Passo 3

Resta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}
e ver se esse limite é igual a F(0,0)=0.
Estratégia eficaz: usar coordenadas polares. Explicando isso com calma:
  • Em polares escrevemos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, onde r\ge 0 é a distância do ponto (x,y) à origem e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso equivale a r\to 0^+ independentemente de \theta.
  • Substituindo x e y na expressão:
x^3 y = (r\cos\theta)^3(r\sin\theta)=r^4\cos^3\theta\sin\theta, \qquad x^2+y^2=r^2.
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^4\cos^3\theta\sin\theta}{r^2}=r^2\cos^3\theta\sin\theta.

Passo 4

Analisando o resultado em polares:
  • Temos \displaystyle \frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}=r^2\cos^3\theta\sin\theta.
  • Tomando valor absoluto,
\left|\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}\right|=r^2\left|\cos^3\theta\sin\theta\right|\le r^2,
pois \left|\cos^3\theta\sin\theta\right|\le 1 para todo \theta.
  • Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que r^2\to 0. Pelo teorema do confronto (squeeze theorem), o valor r^2\cos^3\theta\sin\theta tende a 0 quando r\to 0, independentemente de \theta.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}=0=F(0,0).
Isso mostra que F é contínua em (0,0).

Passo 5

Juntando os resultados:
  • F é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0) por ser quociente de polinômios com denominador não nulo.
  • F é contínua em (0,0) porque o limite da expressão quando (x,y)\to(0,0) é 0, igual ao valor de F no ponto.
Conclusão: F é contínua em todos os pontos do domínio U (em particular, em todo \mathbb{R}^2 se U=\mathbb{R}^2).

Resposta

A função F é contínua em todo U (ou seja, em todos os pontos de \mathbb{R}^2 se U=\mathbb{R}^2).

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