Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{2}}
e pergunta se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{(-2)^{n}}{n^{2}}.
  • A série de valores absolutos associada é \sum_{n=1}^{\infty} \left|a_n\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n^{2}}.
    O objetivo será: (1) testar a convergência da série de valores absolutos (para verificar convergência absoluta) e (2) testar a convergência da série original (para verificar se há convergência condicional).

Passo 2

Teste da convergência absoluta — ideia e ferramenta usada.
Para testar a convergência absoluta estudamos a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n^{2}}. Uma ferramenta prática para séries com fator exponencial é o teste da razão (ratio test). Vou explicar o teste da razão de forma simples:
  • Seja uma série com termos positivos b_n. Se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},
então:
  • se L<1, a série converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui tomamos b_n=\dfrac{2^{n}}{n^{2}} (todos positivos), e aplicamos o teste.

Passo 3

Cálculo efetivo da razão para a série absoluta.
Calcule
\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{\dfrac{2^{\,n+1}}{(n+1)^{2}}}{\dfrac{2^{n}}{n^{2}}} =2\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}2\cdot\frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} =2\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2} =2\cdot 1^{2}=2.
Como esse limite L=2>1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n^{2}} diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Teste da convergência da série original — ideia do teste do termo geral.
Uma condição necessária para que uma série \sum a_n converja é que os termos a_n tendam a zero: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série diverge. Esse é o teste do termo geral (ou teste da divergência). Vou verificar o limite de a_n=\dfrac{(-2)^{n}}{n^{2}}.

Passo 5

Cálculo do comportamento do termo geral.
Observe o valor absoluto:
|a_n|=\frac{2^{n}}{n^{2}}.
Do passo 3 já sabemos que a razão entre termos sucessivos de |a_n| tem limite 2>1. Isso implica que, para n grande, |a_n| cresce geometricamente (por exemplo existe \varepsilon>0 e N tal que, para n\ge N, |a_{n+1}| \ge (1+\varepsilon)|a_n|), logo |a_n|\to\infty quando n\to\infty. Em particular |a_n| não tende a zero, então a_n também não tende a zero. Pelo teste do termo geral, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{n^{2}}
diverge.

Passo 6

Resumo e interpretação final.
  • A série de valores absolutos \sum \dfrac{2^{n}}{n^{2}} diverge pelo teste da razão (limite da razão = 2>1). Logo não há convergência absoluta.
  • O termo geral a_n=\dfrac{(-2)^{n}}{n^{2}} não tende a zero (na verdade |a_n|\to\infty), então a série original diverge pelo teste do termo geral.
    Portanto a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente: ela é divergente.

Resposta

A série diverge.

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