Questão 6. Teste se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pergunta se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral da série é
. - A série de valores absolutos associada é
.
O objetivo será: (1) testar a convergência da série de valores absolutos (para verificar convergência absoluta) e (2) testar a convergência da série original (para verificar se há convergência condicional).
Passo 2
Teste da convergência absoluta — ideia e ferramenta usada.
Para testar a convergência absoluta estudamos a série . Uma ferramenta prática para séries com fator exponencial é o teste da razão (ratio test). Vou explicar o teste da razão de forma simples:
Para testar a convergência absoluta estudamos a série
- Seja uma série com termos positivos
. Se existir o limite
então:
- se
, a série converge; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo.
Aqui tomamos(todos positivos), e aplicamos o teste.
Passo 3
Cálculo efetivo da razão para a série absoluta.
Calcule
Calcule
Agora o limite quando
:
Como esse limite
, pelo teste da razão a série
diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.
Passo 4
Teste da convergência da série original — ideia do teste do termo geral.
Uma condição necessária para que uma série converja é que os termos
tendam a zero: se
(ou não existe), então a série diverge. Esse é o teste do termo geral (ou teste da divergência). Vou verificar o limite de
.
Uma condição necessária para que uma série
Passo 5
Cálculo do comportamento do termo geral.
Observe o valor absoluto:
Observe o valor absoluto:
Do passo 3 já sabemos que a razão entre termos sucessivos de
tem limite
. Isso implica que, para
grande,
cresce geometricamente (por exemplo existe
e
tal que, para
,
), logo
quando
. Em particular
não tende a zero, então
também não tende a zero. Pelo teste do termo geral, a série
diverge.
Passo 6
Resumo e interpretação final.
- A série de valores absolutos
diverge pelo teste da razão (limite da razão = ). Logo não há convergência absoluta. - O termo geral
não tende a zero (na verdade ), então a série original diverge pelo teste do termo geral.
Portanto a série não converge nem absolutamente nem condicionalmente: ela é divergente.
Resposta
A série diverge.