Questão 5. Determine a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas.
c) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{\sqrt{n^{3}}+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{\sqrt{n^{3}}+2}
converge ou diverge. Informações dadas:
  • O termo geral é (-1)^{n} multiplicado por \dfrac{n}{\sqrt{n^{3}}+2}.
  • Vou chamar a parte positiva (magnitude) de
b_n=\frac{n}{\sqrt{n^{3}}+2}.
O objetivo é decidir se a série alternada \sum (-1)^n b_n converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão de b_n para entender seu comportamento quando n\to\infty.
Note que \sqrt{n^{3}}=n^{3/2}. Então
b_n=\frac{n}{n^{3/2}+2}.
Divido numerador e denominador por n^{3/2} para ver a ordem dominante:
b_n=\frac{n}{n^{3/2}+2}=\frac{n/n^{3/2}}{1+2/n^{3/2}}=\frac{n^{-1/2}}{1+2/n^{3/2}}.
Como n^{ -3/2}\to 0, obtemos
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{-1/2}}{1+2/n^{3/2}}=0.
Ou seja, os termos b_n tendem a zero — condição necessária para convergência de qualquer série.

Passo 3

Vou usar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz). O enunciado do teste:
se (b_n) é uma sequência de termos positivos tal que
  1. b_n é monótona decrescente a partir de algum N (ou seja, existe N com b_{n+1}\le b_n para todo n\ge N); e
  2. \lim_{n\to\infty} b_n=0,
    então a série alternada \sum (-1)^n b_n converge (pelo menos condicionalmente).
    Já verificamos o item 2). Falta mostrar monotonicidade eventual de b_n.

Passo 4

Para mostrar que b_n é decrescente a partir de algum índice, é conveniente estudar a função contínua
f(x)=\frac{x}{x^{3/2}+2},\qquad x>0,
e ver onde sua derivada é negativa (isso garante que b_n=f(n) é decrescente para n grandes).
Calculo a derivada:
f'(x)=\frac{(x^{3/2}+2)\cdot 1 - x\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}}{(x^{3/2}+2)^2} =\frac{x^{3/2}+2-\tfrac{3}{2}x^{3/2}}{(x^{3/2}+2)^2} =\frac{2-\tfrac{1}{2}x^{3/2}}{(x^{3/2}+2)^2}.
O denominador é sempre positivo. O numerador é 2-\tfrac{1}{2}x^{3/2}. Esse numerador fica negativo quando
\tfrac{1}{2}x^{3/2}>2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{3/2}>4 \quad\Longleftrightarrow\quad x>4^{2/3}.
Como 4^{2/3}\approx 2{,}52, para todo x\ge 3 temos f'(x)<0. Portanto f é decrescente em [3,\infty), o que implica que a sequência (b_n) é decrescente para todo n\ge 3. Assim a condição de monotonicidade eventual do teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 5

Aplicando o teste de Leibniz: como b_n>0, b_n é decrescente para n grande e \lim_{n\to\infty} b_n=0, concluímos que a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{\sqrt{n^{3}}+2}
converge.

Passo 6

Agora verifico se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Considero a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{3/2}+2}.
Faço um teste de comparação assintótica (teste da comparação por limite) com a série \sum n^{-1/2} (uma p-série com p=\tfrac{1}{2}).
Calculo
\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n^{-1/2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n}{n^{3/2}+2}}{n^{-1/2}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}}{n^{3/2}+2}=1.
Como o limite é finito e não nulo, b_n tem o mesmo comportamento assintótico que n^{-1/2}. A série \sum n^{-1/2} diverge (p-série com p\le 1), então \sum b_n também diverge. Logo a série original não converge absolutamente.

Passo 7

Conclusão final combinando os resultados:
  • A série alternada converge pelo teste de Leibniz;
  • A série dos valores absolutos diverge por comparação com \sum n^{-1/2}.
Portanto a série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente). Força aí — você já tem a ideia principal que cai muito em prova: mostrar limite nulo + monotonicidade eventual para aplicar Leibniz, e usar comparação/limite com uma p-série para checar a (não) convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não é absolutamente convergente).

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