Questão 5. Determine a convergência ou divergência das seguintes séries alternadas.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informações dadas:
- O termo geral é
multiplicado por . - Vou chamar a parte positiva (magnitude) de
O objetivo é decidir se a série alternada
converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge.
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão de
para entender seu comportamento quando
.
Note que . Então
Note que
Divido numerador e denominador por
para ver a ordem dominante:
Como
, obtemos
Ou seja, os termos
tendem a zero — condição necessária para convergência de qualquer série.
Passo 3
Vou usar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz). O enunciado do teste:
se é uma sequência de termos positivos tal que
se
-
é monótona decrescente a partir de algum (ou seja, existe com para todo ); e -
,
então a série alternadaconverge (pelo menos condicionalmente).
Já verificamos o item 2). Falta mostrar monotonicidade eventual de.
Passo 4
Para mostrar que
é decrescente a partir de algum índice, é conveniente estudar a função contínua
e ver onde sua derivada é negativa (isso garante que
é decrescente para
grandes).
Calculo a derivada:
Calculo a derivada:
O denominador é sempre positivo. O numerador é
. Esse numerador fica negativo quando
Como
, para todo
temos
. Portanto
é decrescente em
, o que implica que a sequência
é decrescente para todo
. Assim a condição de monotonicidade eventual do teste de Leibniz está satisfeita.
Passo 5
Aplicando o teste de Leibniz: como
,
é decrescente para
grande e
, concluímos que a série alternada
converge.
Passo 6
Agora verifico se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Considero a série de termos positivos
Faço um teste de comparação assintótica (teste da comparação por limite) com a série
(uma p-série com
).
Calculo
Calculo
Como o limite é finito e não nulo,
tem o mesmo comportamento assintótico que
. A série
diverge (p-série com
), então
também diverge. Logo a série original não converge absolutamente.
Passo 7
Conclusão final combinando os resultados:
- A série alternada converge pelo teste de Leibniz;
- A série dos valores absolutos diverge por comparação com
.
Portanto a série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente). Força aí — você já tem a ideia principal que cai muito em prova: mostrar limite nulo + monotonicidade eventual para aplicar Leibniz, e usar comparação/limite com uma p-série para checar a (não) convergência absoluta.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não é absolutamente convergente).