Questão 2-O triângulo de potência relaciona P, Q, se o ângulo do fator de potência \varphi. Para um elemento com \varphi=23,074^{\circ} (atrasado) e P=500 \mathrm{~kW}, determine S e Q.
a) S=235,5 \mathrm{kVA} e Q=213 \mathrm{kVAr}
b) S=445,4 \mathrm{kVA} e Q=100,13 \mathrm{kVAr}
c) S=300,23 \mathrm{kVA} e Q=100,55 \mathrm{kVAr}
d) S=543,700 \mathrm{kVA} e Q=251 \mathrm{kVAr}
e) S=543,478 \mathrm{kVA} e Q=213 \mathrm{kVAr}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede S e Q:
  • Potência ativa: P=500\\ \mathrm{kW}.
  • Ângulo do fator de potência: \varphi=23{,}074^\circ (atrasado).
    O que se pede:
  • Determinar a potência aparente S (em kVA).
  • Determinar a potência reativa Q (em kVAr).

Passo 2

Conceitos e relações fundamentais (aulas rápidas e diretas).
  • A potência aparente S é a magnitude do número complexo de potência e relaciona-se com P e Q pelo triângulo de potência:
S^2 = P^2 + Q^2.
Aqui:
  • P é a potência ativa (em kW).
  • Q é a potência reativa (em kVAr). Para um elemento com corrente atrasada em relação à tensão (atrasado), Q é positivo (indutivo).
  • S é a potência aparente (em kVA).
  • As relações trigonométricas do triângulo de potência (ângulo \varphi entre S e P):
\cos\varphi = \frac{P}{S},\qquad \sin\varphi = \frac{Q}{S},\qquad \tan\varphi = \frac{Q}{P}.
Essas fórmulas são fáceis de lembrar: imagine um triângulo retângulo com cateto adjacente P, oposto Q e hipotenusa S.

Passo 3

Isolar S e Q em fórmulas práticas (o que usar na prova).
  • Da primeira relação:
S=\frac{P}{\cos\varphi}.
  • Da relação da tangente (útil para calcular Q direto):
Q = P\tan\varphi.
Também poderia-se usar Q=\sqrt{S^2-P^2} para checagem.

Passo 4

Calcular \cos\varphi e \tan\varphi para o ângulo dado.
  • Observação conveniente: \varphi=23{,}074^\circ foi escolhido de modo que \cos\varphi\approx0{,}92. Vamos usar esse valor porque é exato o suficiente para a prova e coincide com a precisão das alternativas.
  • Calcular \sin\varphi a partir de \cos\varphi:
\sin\varphi=\sqrt{1-\cos^2\varphi}=\sqrt{1-0{,}92^2}=\sqrt{0{,}1536}\approx0{,}392.
  • Calcular \tan\varphi:
\tan\varphi=\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}\approx\frac{0{,}392}{0{,}92}\approx0{,}4260869565.

Passo 5

Calcular a potência aparente S.
  • Usando \;S=\dfrac{P}{\cos\varphi}:
S=\frac{500}{0{,}92}\\ \mathrm{kVA}=543{,}4782609\\ \mathrm{kVA}\approx543{,}478\\ \mathrm{kVA}.
(Arredondei para três casas decimais seguindo a forma das alternativas.)

Passo 6

Calcular a potência reativa Q.
  • Usando \;Q=P\tan\varphi:
Q=500\cdot 0{,}4260869565\\ \mathrm{kVAr}\approx213{,}0434783\\ \mathrm{kVAr}\approx213\\ \mathrm{kVAr}.
  • Checagem rápida com o teorema de Pitágoras:
\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{500^2+213{,}0434783^2}\approx\sqrt{250000+45362{,}4}\approx\sqrt{295362{,}4}\approx543{,}478\\ \mathrm{kVA},
coincidindo com o S calculado (boa verificação).

Passo 7

Interpretação do sinal de Q: como o enunciado diz “atrasado”, trata-se de carga indutiva, então Q é positivo. Portanto usamos Q=+213\\ \mathrm{kVAr}.

Resposta

e) S=543{,}478\\ \mathrm{kVA} e Q=213\\ \mathrm{kVAr}

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