Se a deformação normal for definida em relação ao comprimento final, isto é,
\epsilon_{n}^{\prime}=\lim _{p \rightarrow p^{\prime}}\left(\frac{\Delta s^{\prime}-\Delta s}{\Delta s^{\prime}}\right)
em vez de em relação ao comprimento original, Equaçăo 2.2, mostreque a diferença entre essas deformações é representada como um termo de segunda ordem, a saber, \epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime}=\epsilon_{n} \epsilon_{n}^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá duas definições de deformação normal para um pequeno elemento de comprimento: a definição clássica em relação ao comprimento original e uma definição alternativa em relação ao comprimento final. As informações relevantes são:
  • \Delta s é o comprimento inicial do elemento.
  • \Delta s' é o comprimento final do mesmo elemento.
  • A definição clássica (presumida como Equação 2.2 do enunciado) é a deformação relativa ao comprimento original, que chamamos de \epsilon_{n}.
  • A definição alternativa dada no enunciado é a deformação relativa ao comprimento final, que chamamos de \epsilon_{n}^{\prime} e está escrita como
\epsilon_{n}^{\prime}=\lim_{p\rightarrow p^{\prime}}\left(\frac{\Delta s^{\prime}-\Delta s}{\Delta s^{\prime}}\right).
O que o enunciado pede: mostrar que a diferença entre essas duas deformações é dada por um termo de segunda ordem, isto é,
\epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime}=\epsilon_{n}\,\epsilon_{n}^{\prime}.

Passo 2

Escrevemos explicitamente as duas definições (antes de tomar o limite, trabalhando com as quantidades incrementais):
\epsilon_{n}=\frac{\Delta s^{\prime}-\Delta s}{\Delta s}, \qquad \epsilon_{n}^{\prime}=\frac{\Delta s^{\prime}-\Delta s}{\Delta s'}.
Aqui cada quantidade tem o significado:
  • \Delta s^{\prime}-\Delta s é o alongamento absoluto do elemento.
  • \epsilon_{n} é esse alongamento dividido pelo comprimento inicial \Delta s.
  • \epsilon_{n}^{\prime} é o mesmo alongamento dividido pelo comprimento final \Delta s'.

Passo 3

Vamos calcular a diferença \epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime} usando as expressões acima (a identidade que vamos obter vale independentemente de tomarmos o limite; o limite é apenas para formalizar deformação pontual):
\epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime} = \frac{\Delta s^{\prime}-\Delta s}{\Delta s} - \frac{\Delta s^{\prime}-\Delta s}{\Delta s'}.
Colocamos fator comum \Delta s^{\prime}-\Delta s:
\epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime} = (\Delta s^{\prime}-\Delta s)\left(\frac{1}{\Delta s}-\frac{1}{\Delta s'}\right).

Passo 4

Calcule o parêntese com as diferenças de recíprocos usando a identidade \frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}:
\frac{1}{\Delta s}-\frac{1}{\Delta s'} = \frac{\Delta s'-\Delta s}{\Delta s\,\Delta s'}.
Substituindo em \epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime} obtemos
\epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime} = (\Delta s^{\prime}-\Delta s)\cdot\frac{\Delta s'-\Delta s}{\Delta s\,\Delta s'} = \frac{(\Delta s^{\prime}-\Delta s)^{2}}{\Delta s\,\Delta s'}.

Passo 5

Agora calcule o produto \epsilon_{n}\,\epsilon_{n}^{\prime} usando as definições:
\epsilon_{n}\,\epsilon_{n}^{\prime} = \left(\frac{\Delta s^{\prime}-\Delta s}{\Delta s}\right)\left(\frac{\Delta s^{\prime}-\Delta s}{\Delta s'}\right) = \frac{(\Delta s^{\prime}-\Delta s)^{2}}{\Delta s\,\Delta s'}.
Comparando com o resultado do passo anterior vemos que as duas expressões são idênticas, portanto (antes mesmo de tomar o limite)
\epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime}=\epsilon_{n}\,\epsilon_{n}^{\prime}.
Tomando os limites p\rightarrow p' em ambos os lados (que é a definição formal da deformação pontual), a identidade permanece válida.

Passo 6

Interpretação didática e aproximação para pequenos alongamentos:
  • A igualdade mostra que a diferença entre as duas definições é o produto das deformações. Se as deformações são pequenas (isto é, |\epsilon_{n}|\ll 1 e |\epsilon_{n}^{\prime}|\ll 1), então o produto \epsilon_{n}\,\epsilon_{n}^{\prime} é da ordem de \mathcal{O}(\epsilon^{2}), um termo de segunda ordem, logo frequentemente desprezível nas aproximações lineares.
  • Podemos também isolar \epsilon_{n}^{\prime} em função de \epsilon_{n}. A partir de \epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime}=\epsilon_{n}\,\epsilon_{n}^{\prime} temos
\epsilon_{n}^{\prime}=\frac{\epsilon_{n}}{1+\epsilon_{n}}.
Para |\epsilon_{n}|\ll 1 a série de Taylor dá
\epsilon_{n}^{\prime}=\epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{2}+\mathcal{O}(\epsilon_{n}^{3}),
portanto a diferença \epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime} é aproximadamente \epsilon_{n}^{2}, um termo quadrático.
  • Exemplo numérico rápido: se \Delta s=1 e \Delta s'=1,01 então \epsilon_{n}=0,01, \epsilon_{n}'\approx 0,00990099 e a diferença é \approx 9{,}901\times 10^{-5}, que é igual ao produto \epsilon_{n}\epsilon_{n}'. Isso mostra concretamente que a diferença é pequena (segunda ordem) quando as deformações são pequenas.

Resposta

\epsilon_{n}-\epsilon_{n}^{\prime}=\epsilon_{n}\,\epsilon_{n}^{\prime}

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