Se a deformação normal for definida em relação ao comprimento final, isto é,
em vez de em relação ao comprimento original, Equaçăo 2.2, mostreque a diferença entre essas deformações é representada como um termo de segunda ordem, a saber,
.
Passo 1
O enunciado dá duas definições de deformação normal para um pequeno elemento de comprimento: a definição clássica em relação ao comprimento original e uma definição alternativa em relação ao comprimento final. As informações relevantes são:
-
é o comprimento inicial do elemento. -
é o comprimento final do mesmo elemento. - A definição clássica (presumida como Equação 2.2 do enunciado) é a deformação relativa ao comprimento original, que chamamos de
. - A definição alternativa dada no enunciado é a deformação relativa ao comprimento final, que chamamos de
e está escrita como
O que o enunciado pede: mostrar que a diferença entre essas duas deformações é dada por um termo de segunda ordem, isto é,
Passo 2
Escrevemos explicitamente as duas definições (antes de tomar o limite, trabalhando com as quantidades incrementais):
Aqui cada quantidade tem o significado:
-
é o alongamento absoluto do elemento. -
é esse alongamento dividido pelo comprimento inicial . -
é o mesmo alongamento dividido pelo comprimento final .
Passo 3
Vamos calcular a diferença
usando as expressões acima (a identidade que vamos obter vale independentemente de tomarmos o limite; o limite é apenas para formalizar deformação pontual):
Colocamos fator comum
:
Passo 4
Calcule o parêntese com as diferenças de recíprocos usando a identidade
:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Agora calcule o produto
usando as definições:
Comparando com o resultado do passo anterior vemos que as duas expressões são idênticas, portanto (antes mesmo de tomar o limite)
Tomando os limites
em ambos os lados (que é a definição formal da deformação pontual), a identidade permanece válida.
Passo 6
Interpretação didática e aproximação para pequenos alongamentos:
- A igualdade mostra que a diferença entre as duas definições é o produto das deformações. Se as deformações são pequenas (isto é,
e ), então o produto é da ordem de , um termo de segunda ordem, logo frequentemente desprezível nas aproximações lineares. - Podemos também isolar
em função de . A partir de temos
Para
a série de Taylor dá
portanto a diferença
é aproximadamente
, um termo quadrático.
- Exemplo numérico rápido: se
e então , e a diferença é , que é igual ao produto . Isso mostra concretamente que a diferença é pequena (segunda ordem) quando as deformações são pequenas.