Questão Única (valor total até 5,0 pontos, cada item individual valor até 1,0 ponto): Dadas as coordenadas UTM dos pontos da tangente externa de uma Curva Circular de Concordância Horizontal (CCCH), PC ( \mathrm{N}=6850390,617 \mathrm{~m} e E=218695,847m) e PI ( \mathrm{N}=6850758,978 \mathrm{~m} e \mathrm{E}=218208,083 \mathrm{~m} ). Coordenadas geodésicas do ponto médio entre PC-PI, Latitude =28^{\circ} 26^{\prime} 27,72^{\prime \prime} \mathrm{S} e Longitude =53^{\circ} 52^{\prime} 28,72^{\prime \prime} W. Tabela auxiliar (k):
250.000 750.000 1.00037
240.000 760.000 1.00043
230.000 770.000 1.00050
220.000 780.000 1.00057
210.000 790.000 1.00065
  1. Calcular a distância PC-PI (UTM, quadrícula);
  2. Calcular o azimute de quadrícula da direção PC-PI;
  3. Transforme a distância UTM calculada em distância horizontal (no terreno);
  4. Transforme o azimute de quadrícula,calculado em azimute verdadeiro;
  5. Considerando uma rampa de 2,62 \% (PC-PI), calcule o valor da cota de PI, a partir da cota de PC =404,162 \mathrm{~m}.

Passo 1

Clarificando o que o enunciado pede e o que ele fornece (peguei estes dados do enunciado):
  • Dados UTM dos pontos (coordenadas de quadrícula):
    • PC: \mathrm{N}_{PC}=6850390,617\\ \mathrm{m}, \mathrm{E}_{PC}=218695,847\\ \mathrm{m}.
    • PI: \mathrm{N}_{PI}=6850758,978\\ \mathrm{m}, \mathrm{E}_{PI}=218208,083\\ \mathrm{m}.
  • Coordenadas geodésicas do ponto médio entre PC e PI (peguei estas coordenadas do enunciado):
    • Latitude: \varphi=-28^\circ26'27,72'' (sul).
    • Longitude: \lambda=-53^\circ52'28,72'' (west = negativo).
  • Tabela auxiliar (peguei os valores da tabela fornecida pelo enunciado) com fator k:
    • para intervalo 250{,}000 a 750{,}000 -> k=1{,}00037
    • (outras linhas da tabela também presentes, mas a linha relevante será selecionada conforme a distância calculada).
O enunciado pede, em ordem:
  1. Calcular a distância PC–PI (UTM, quadrícula).
  2. Calcular o azimute de quadrícula da direção PC–PI.
  3. Transformar a distância UTM (quadrícula) em distância horizontal (no terreno) usando o fator k da tabela.
  4. Transformar o azimute de quadrícula em azimute verdadeiro (usar as coordenadas do ponto médio).
  5. Considerando uma rampa de 2{,}62\% ao longo de PC–PI, calcular a cota de PI a partir da cota de PC =404{,}162\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Calcular a distância PC–PI na malha UTM (distância de quadrícula). Primeiro calculo as diferenças de coordenadas (peguei as coordenadas UTM informadas):
\Delta N = \mathrm{N}_{PI}-\mathrm{N}_{PC}=6850758,978-6850390,617=368,361\\ \mathrm{m}
\Delta E = \mathrm{E}_{PI}-\mathrm{E}_{PC}=218208,083-218695,847=-487,764\\ \mathrm{m}
Agora a distância pela fórmula da distância euclidiana na malha (Pitagoras):
D_{grid}=\sqrt{(\Delta N)^2+(\Delta E)^2}.
Calculo os quadrados (mostrando detalhadamente):
(\Delta N)^2=(368,361)^2=135689,826321\\ (\mathrm{m}^2)
(\Delta E)^2=(-487,764)^2=237913,719696\\ (\mathrm{m}^2)
Somando:
(\Delta N)^2+(\Delta E)^2=135689,826321+237913,719696=373603,546017\\ (\mathrm{m}^2)
Raiz quadrada:
D_{grid}=\sqrt{373603,546017}\approx611,231\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: a distância em quadrícula entre PC e PI é \,611{,}231\\ \mathrm{m}\,.

Passo 3

Calcular o azimute de quadrícula da direção PC→PI. Vou usar a definição prática de azimute de quadrícula (ângulo medido a partir do norte da grade, no sentido horário). A fórmula que uso é
A_{grid}=\operatorname{atan2}(\Delta E,\Delta N),
onde \operatorname{atan2} trata corretamente os quadrantes. Aqui \Delta N=+368{,}361 (norte) e \Delta E=-487{,}764 (oeste), ou seja, o vetor aponta para noroeste: quadrante entre 270^\circ e 360^\circ.
Calculo o ângulo complementar (ângulo a partir do norte até o eixo leste, positivo para leste) por:
\alpha=\arctan\!\left(\frac{|\Delta E|}{\Delta N}\right)=\arctan\!\left(\frac{487{,}764}{368{,}361}\right).
Avaliação numérica (mostrando o raciocínio):
\frac{487{,}764}{368{,}361}\approx1{,}324149,
\alpha\approx\arctan(1{,}324149)\approx52^\circ54'01{,}22''.
Como \Delta E é negativo e \Delta N positivo, a direção fica a oeste do norte, então
A_{grid}=360^\circ-\alpha=360^\circ-52^\circ54'01{,}22''=307^\circ05'58{,}78''.
Portanto o azimute de quadrícula da direção PC→PI é \,307^\circ05'58{,}78''.
(Dica prática para prova: use \operatorname{atan2}(\Delta E,\Delta N) em calculadora científica; se usar apenas \arctan(\Delta E/\Delta N) lembre-se de corrigir o quadrante pelo sinal de \Delta N e \Delta E.)

Passo 4

Transformar a distância de quadrícula em distância horizontal (no terreno) usando o fator k da tabela. Primeiro identifico qual linha da tabela usar: a distância calculada \,611{,}231\\ \mathrm{m} está no intervalo 250{,}000 a 750{,}000, portanto (peguei este valor da tabela) usamos
k=1{,}00037.
A relação é simples:
D_{hor} = k \cdot D_{grid}.
Substituindo valores:
D_{hor}=1{,}00037\times611{,}231\\ \mathrm{m}\approx611{,}457\\ \mathrm{m}.
Avaliação numérica mais precisa (para referência): 611{,}231\times0{,}00037\approx0{,}226\\ \mathrm{m}, soma dá 611{,}457\\ \mathrm{m}. Logo a distância horizontal no terreno é \,611{,}457\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Transformar o azimute de quadrícula em azimute verdadeiro (usar a convergência meridiana). Vou calcular a convergência meridiana \gamma no ponto médio e somá-la ao azimute de quadrícula para obter o azimute verdadeiro:
Fórmula aproximada (muito usada em topografia para pequenas diferenças de longitude):
\gamma \approx (\lambda-\lambda_0)\sin\varphi,
onde:
  • \lambda é a longitude do ponto médio (em radianos),
  • \lambda_0 é a longitude do meridiano central da zona UTM (em radianos),
  • \varphi é a latitude do ponto médio (em radianos).
Passos para aplicar (peguei \varphi e \lambda do enunciado):
  • Latitude: \varphi=-28^\circ26'27{,}72''.
  • Longitude: \lambda=-53^\circ52'28{,}72''.
  • A zona UTM correspondente a \lambda\approx-53{,}87^\circ tem meridiano central em \lambda_0=-51^\circ (zona 22S, portanto \lambda_0=-51^\circ). (peguei \lambda_0 pela regra da zona UTM).
Converto para radianos:
\Delta\lambda=\lambda-\lambda_0=-53^\circ52'28{,}72'' -(-51^\circ)=-2^\circ52'28{,}72''\approx-2{,}8746445^\circ
\Delta\lambda_{rad}=-2{,}8746445^\circ\times\frac{\pi}{180}\approx-0{,}050176\\ \text{rad}.
Latitude em radianos:
\varphi=-28^\circ26'27{,}72''\approx-28{,}4410333^\circ,\qquad \varphi_{rad}\approx-0{,}496566\\ \text{rad}.
Calculo \sin\varphi:
\sin\varphi\approx\sin(-28{,}4410333^\circ)\approx-0{,}476986.
Agora a convergência:
\gamma\approx\Delta\lambda_{rad}\cdot\sin\varphi\approx(-0{,}050176)\times(-0{,}476986)=+0{,}023936\\ \text{rad}.
Converto \gamma para graus:
\gamma\approx0{,}023936\\ \text{rad}\times\frac{180}{\pi}\approx1{,}3717^\circ\approx1^\circ22'18{,}12''.
Sinal e aplicação: a convergência é positiva neste caso, então (convenção utilizada aqui) o azimute verdadeiro é
A_{true}=A_{grid}+\gamma.
Somando (usando os valores em DMS):
A_{grid}=307^\circ05'58{,}78'',\qquad \gamma=1^\circ22'18{,}12''.
Soma:
A_{true}=308^\circ28'16{,}90''\\ (\text{aproximadamente}).
Observação prática: a fórmula exata é \gamma=\arctan(\tan(\lambda-\lambda_0)\sin\varphi); para pequenos \lambda-\lambda_0 a aproximação linear usada é suficiente e amplamente adotada em projetos de campo.

Passo 6

Calcular a cota de PI sabendo a rampa (declividade) ao longo de PC–PI igual a 2{,}62\% e a cota de PC igual a 404{,}162\\ \mathrm{m}.
Definição de rampa: declividade percentual é
\text{slope}=\frac{\Delta h}{D_{hor}}\times100\%,
portanto a variação de cota \Delta h (PI menos PC) é
\Delta h = \left(\frac{\text{slope}}{100}\right)\times D_{hor}.
Aqui \text{slope}=2{,}62\%\Rightarrow \frac{\text{slope}}{100}=0{,}0262. Usei D_{hor}=611{,}457\\ \mathrm{m} (Passo 4). Então
\Delta h=0{,}0262\times611{,}457\\ \mathrm{m}\approx16{,}020\\ \mathrm{m}.
Assim a cota de PI é
\text{cota}_{PI}=\text{cota}_{PC}+\Delta h=404{,}162\\ \mathrm{m}+16{,}020\\ \mathrm{m}\approx420{,}182\\ \mathrm{m}.
Interpretação: com rampa positiva de 2{,}62\% do PC para o PI, o PI fica aproximadamente a 420{,}182\\ \mathrm{m}.

Resposta

Distância PC–PI (UTM, quadrícula): 611{,}231\\ \mathrm{m}
Azimute de quadrícula PC→PI: 307^\circ05'58{,}78''
Distância horizontal (no terreno): 611{,}457\\ \mathrm{m}
Azimute verdadeiro PC→PI: 308^\circ28'16{,}90''
Cota de PI (a partir de PC =404{,}162\\ \mathrm{m}, rampa 2{,}62\%): 420{,}182\\ \mathrm{m}

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