Questão Única (valor total até 5,0 pontos, cada item individual valor até 1,0 ponto): Dadas as coordenadas UTM dos pontos da tangente externa de uma Curva Circular de Concordância Horizontal (CCCH), PC (
e E=218695,847m) e PI (
e
). Coordenadas geodésicas do ponto médio entre PC-PI, Latitude
e Longitude
W. Tabela auxiliar (k):
250.000
750.000
1.00037
240.000
760.000
1.00043
230.000
770.000
1.00050
220.000
780.000
1.00057
210.000
790.000
1.00065
- Calcular a distância PC-PI (UTM, quadrícula);
- Calcular o azimute de quadrícula da direção PC-PI;
- Transforme a distância UTM calculada em distância horizontal (no terreno);
- Transforme o azimute de quadrícula,calculado em azimute verdadeiro;
- Considerando uma rampa de
(PC-PI), calcule o valor da cota de PI, a partir da cota de PC
.
| 250.000 | 750.000 | 1.00037 |
| 240.000 | 760.000 | 1.00043 |
| 230.000 | 770.000 | 1.00050 |
| 220.000 | 780.000 | 1.00057 |
| 210.000 | 790.000 | 1.00065 |
Passo 1
Clarificando o que o enunciado pede e o que ele fornece (peguei estes dados do enunciado):
-
Dados UTM dos pontos (coordenadas de quadrícula):
- PC:
, . - PI:
, .
- PC:
-
Coordenadas geodésicas do ponto médio entre PC e PI (peguei estas coordenadas do enunciado):
- Latitude:
(sul). - Longitude:
(west = negativo).
- Latitude:
-
Tabela auxiliar (peguei os valores da tabela fornecida pelo enunciado) com fator
: - para intervalo
a -> - (outras linhas da tabela também presentes, mas a linha relevante será selecionada conforme a distância calculada).
- para intervalo
O enunciado pede, em ordem:
- Calcular a distância PC–PI (UTM, quadrícula).
- Calcular o azimute de quadrícula da direção PC–PI.
- Transformar a distância UTM (quadrícula) em distância horizontal (no terreno) usando o fator
da tabela. - Transformar o azimute de quadrícula em azimute verdadeiro (usar as coordenadas do ponto médio).
- Considerando uma rampa de
ao longo de PC–PI, calcular a cota de PI a partir da cota de PC .
Passo 2
Calcular a distância PC–PI na malha UTM (distância de quadrícula). Primeiro calculo as diferenças de coordenadas (peguei as coordenadas UTM informadas):
Agora a distância pela fórmula da distância euclidiana na malha (Pitagoras):
Calculo os quadrados (mostrando detalhadamente):
Somando:
Raiz quadrada:
Interpretação rápida: a distância em quadrícula entre PC e PI é
.
Passo 3
Calcular o azimute de quadrícula da direção PC→PI. Vou usar a definição prática de azimute de quadrícula (ângulo medido a partir do norte da grade, no sentido horário). A fórmula que uso é
onde
trata corretamente os quadrantes. Aqui
(norte) e
(oeste), ou seja, o vetor aponta para noroeste: quadrante entre
e
.
Calculo o ângulo complementar (ângulo a partir do norte até o eixo leste, positivo para leste) por:
Avaliação numérica (mostrando o raciocínio):
Como
é negativo e
positivo, a direção fica a oeste do norte, então
Portanto o azimute de quadrícula da direção PC→PI é
.
(Dica prática para prova: use
em calculadora científica; se usar apenas
lembre-se de corrigir o quadrante pelo sinal de
e
.)
Passo 4
Transformar a distância de quadrícula em distância horizontal (no terreno) usando o fator
da tabela. Primeiro identifico qual linha da tabela usar: a distância calculada
está no intervalo
a
, portanto (peguei este valor da tabela) usamos
A relação é simples:
Substituindo valores:
Avaliação numérica mais precisa (para referência):
, soma dá
. Logo a distância horizontal no terreno é
.
Passo 5
Transformar o azimute de quadrícula em azimute verdadeiro (usar a convergência meridiana). Vou calcular a convergência meridiana
no ponto médio e somá-la ao azimute de quadrícula para obter o azimute verdadeiro:
Fórmula aproximada (muito usada em topografia para pequenas diferenças de longitude):
onde:
-
é a longitude do ponto médio (em radianos), -
é a longitude do meridiano central da zona UTM (em radianos), -
é a latitude do ponto médio (em radianos).
Passos para aplicar (peguei
e
do enunciado):
- Latitude:
. - Longitude:
. - A zona UTM correspondente a
tem meridiano central em (zona 22S, portanto ). (peguei pela regra da zona UTM).
Converto para radianos:
Latitude em radianos:
Calculo
:
Agora a convergência:
Converto
para graus:
Sinal e aplicação: a convergência é positiva neste caso, então (convenção utilizada aqui) o azimute verdadeiro é
Somando (usando os valores em DMS):
Soma:
Observação prática: a fórmula exata é
; para pequenos
a aproximação linear usada é suficiente e amplamente adotada em projetos de campo.
Passo 6
Calcular a cota de PI sabendo a rampa (declividade) ao longo de PC–PI igual a
e a cota de PC igual a
.
Definição de rampa: declividade percentual é
portanto a variação de cota
(PI menos PC) é
Aqui
. Usei
(Passo 4). Então
Assim a cota de PI é
Interpretação: com rampa positiva de
do PC para o PI, o PI fica aproximadamente a
.
Resposta
Distância PC–PI (UTM, quadrícula):
Azimute de quadrícula PC→PI:
Distância horizontal (no terreno):
Azimute verdadeiro PC→PI:
Cota de PI (a partir de PC , rampa
):
Azimute de quadrícula PC→PI:
Distância horizontal (no terreno):
Azimute verdadeiro PC→PI:
Cota de PI (a partir de PC