Questão 2. (2.0) Use derivação implícita para determinar uma equação da reta tangente à curva
3 x^{2}+4 y^{2}+3 x y=22
no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
3x^{2} + 4y^{2} + 3xy = 22
e pede a reta tangente a ela no ponto (2,1). O conteúdo principal aqui é derivação implícita para encontrar \frac{dy}{dx} e depois usar a forma ponto‐inclinação da reta.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
3x^{2} + 4y^{2} + 3xy = 22
em relação a x. Lembrando que y é função de x, obtemos
\frac{d}{dx}(3x^{2}) + \frac{d}{dx}(4y^{2}) + \frac{d}{dx}(3xy) = \frac{d}{dx}(22).
Isso dá
6x + 8y\,\frac{dy}{dx} + 3\bigl(x\,\frac{dy}{dx} + y\bigr) = 0.

Passo 3

Agrupamos os termos em \frac{dy}{dx}:
6x + 8y\,\frac{dy}{dx} + 3x\,\frac{dy}{dx} + 3y = 0 \;\Longrightarrow\; (8y + 3x)\frac{dy}{dx} + (6x + 3y) = 0.
Isolando \frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{dy}{dx} = -\frac{6x + 3y}{8y + 3x}.

Passo 4

Avaliamo o coeficiente angular no ponto (2,1):
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,1)} = -\frac{6\cdot 2 + 3\cdot 1}{8\cdot 1 + 3\cdot 2} = -\frac{12 + 3}{8 + 6} = -\frac{15}{14}.

Passo 5

Usamos a forma ponto‐inclinação da reta tangente:
y - y_{0} = m\,(x - x_{0})
com (x_{0},y_{0})=(2,1) e m=-\frac{15}{14}. Assim,
y - 1 = -\frac{15}{14}(x - 2).
Podemos reescrever em forma geral multiplicando por 14:
14y - 14 = -15x + 30 \;\Longrightarrow\; 15x + 14y - 44 = 0.

Resposta

A equação da reta tangente é
15x + 14y - 44 = 0.

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