Calcule as derivadas das seguintes funções.
(1.0) g(x)=\operatorname{sen}\left(e^{\sqrt{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=\operatorname{sen}\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr). Para isso vamos usar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas aplicando sucessivamente as derivadas de cada “camada” interna.

Passo 2

Identificamos a composição em três níveis:
g(x)=\operatorname{sen}\bigl(h(x)\bigr), \quad h(x)=e^{\sqrt{x}}, \quad k(x)=\sqrt{x}.
Pela regra da cadeia,
g'(x)=\cos\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).

Passo 3

Agora derivamos h(x)=e^{\sqrt{x}}. A derivada de e^{u} em relação a x é e^{u}\cdot u'. Aqui u=\sqrt{x}, logo
h'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr).
E sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) =\tfrac12\,x^{-1/2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Portanto
h'(x)=e^{\sqrt{x}}\;\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Substituindo h'(x) em g'(x)=\cos\bigl(h(x)\bigr)\,h'(x), obtemos
g'(x) =\cos\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr)\;\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.

Resposta

g'(x) =\frac{e^{\sqrt{x}}\;\cos\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr)}{2\sqrt{x}}.

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