Questão 1. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva C indicada em cada item.
Nos casos em que a orientação da curva não for explicitada, considere C orientada positivamente (no sentido anti-horário).
\oint_{C}\left(e^{x}+y^{2}\right) d x+\left(e^{y}+x^{2}\right) d y, onde C é a fronteira da região compreendida por y=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Green na integral de linha
\oint_C \bigl(e^x + y^2\bigr)\,dx + \bigl(e^y + x^2\bigr)\,dy
onde C é dita “a fronteira da região compreendida por y=x^2”. Para aplicar Green precisamos de uma curva fechada que delimite uma região bem–definida e limitada no plano.

Passo 2

A curva dada por y=x^2 sozinha não forma uma fronteira fechada (ela é um ramo de parábola aberto para cima). Sem outra curva ou linha de fechamento (por exemplo um segmento de reta, um valor máximo de y, etc.), não existe uma região limitada por apenas y=x^2. Portanto não há como aplicar Green de fato, pois falta parte da fronteira para fechar a região.

Resposta

Não é possível calcular a integral com apenas a parábola y=x^2, pois essa curva não é fechada e não delimita uma região limitada.

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