Questão 1. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva C indicada em cada item.
Nos casos em que a orientação da curva não for explicitada, considere C orientada positivamente (no sentido anti-horário).
\oint_{C} x^{2} y d x-y^{2} x d y, onde C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x^{2}+y^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \oint_{C} x^{2}y\,dx - y^{2}x\,dy
onde C é a fronteira da região D no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pelo círculo \,x^{2}+y^{2}=16. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre D.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x^{2}y, \qquad Q(x,y)=-y^{2}x.
Pelo Teorema de Green,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(-y^{2}x) - \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) = -\,y^{2}-x^{2} =-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
Logo,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\bigl(-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\bigr)\,dA.

Passo 3

Para avaliar \displaystyle \iint_{D}-(x^{2}+y^{2})\,dA
usamos coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta. No primeiro quadrante, \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e r\in[0,4]. Assim,
\iint_{D}-(x^{2}+y^{2})\,dA = - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\!\int_{0}^{4}r^{2}\,r\,dr\,d\theta = - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\!\int_{0}^{4}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{4}r^{3}\,dr =\Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{4} =\frac{4^{4}}{4} =64.
Então a integral dupla vale
- \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}64\,d\theta =-64\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} =-64\cdot\frac{\pi}{2} =-32\pi.

Resposta

-32\pi

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