Questão 1. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva
indicada em cada item.
Nos casos em que a orientação da curva não for explicitada, considere
orientada positivamente (no sentido anti-horário).
, onde
é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo
.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde é a fronteira da região
no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pelo círculo
. Vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha numa integral dupla sobre
.
onde
Passo 2
Identificamos
Pelo Teorema de Green,
Logo,
Passo 3
Para avaliar
usamos coordenadas polares: ,
,
e
. No primeiro quadrante,
e
. Assim,
usamos coordenadas polares:
Passo 4
Primeiro a integral em
:
Então a integral dupla vale