Questão 1. (2.0) Use a transformada de Laplace para resolver o PVI:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
- A equação diferencial é de primeira ordem, linear, não homogênea.
- A condição inicial é
. - O lado direito é a soma de duas funções conhecidas:
e .
Objetivo: encontrarusando a transformada de Laplace.
Passo 2
Vou lembrar as definições e propriedades da transformada de Laplace que vou usar (cada variável e símbolo explicados):
- A transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa da transformada e
representa a imagem de
.
- Propriedade da linearidade:
para constantes
.
- Propriedade da derivada (importante para ODEs): se
e é conhecido, então
Aqui
é o valor inicial dado.
- Transformadas úteis que usarei:
- Teorema do deslocamento (exponencial): se
, então
Assim, para
com
, tem-se
.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, e usando
:
Substituindo as fórmulas:
Como
, isto simplifica para
Passo 4
Isolo
dividindo por
:
Explicando a álgebra:
e
.
Passo 5
Faço a transformada inversa termo a termo para obter
.
- Para o primeiro termo
uso frações parciais. Procuro tais que
Multiplicando por
obtemos
. Comparando coeficientes:
e
, então
,
. Assim
As transformadas inversas conhecidas dão
Portanto a contribuição desse termo é
.
- Para o segundo termo
uso a fórmula geral
Escolhendo
e
obtemos
. Logo
e a inversa é
Somando as contribuições:
Opcionalmente factorando
:
Passo 6
Verificação rápida (para segurança na prova):
- Condição inicial:
, está correta. - Substituindo na equação: calculando
por derivação de obtém-se . Então
que coincide com o lado direito original
. Logo a solução está confirmada.