Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
usando o método da substituição. Informação importante: a expressão envolve
, portanto assumimos
na região onde a integral é definida. O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) e acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Breve explicação do método da substituição (intuição): se uma parte da integral pode ser escrita como
e sua diferença diferencial
aparece (ou pode aparecer) multiplicando, então podemos trocar a variável
por
para simplificar a integral. Em termos práticos, fazemos uma mudança de variável:
Substituímos
por
e
por
(ou isolamos
em função de
) e integramos em
. No final, voltamos para
substituindo
por
.
Passo 3
Escolha da substituição para este problema: note que aparece
no expoente e também no denominador. Uma escolha natural é
Agora vamos relacionar
e
. Como
, derivando obtemos
Isolando
em função de
temos
Passo 4
Fazer as substituições na integral. Primeiro observação: peguei a informação
do integrando (está no enunciado). Substituindo
e
em
obtemos
Como
, isso simplifica para
Passo 5
Simplificar o integrando em
:
Agora é uma integral direta: a primitiva de
é
. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável original
usando
. Substituindo:
Essa é uma primitiva do integrando original.
Passo 7
Verificação rápida (derivada da resposta): calcular a derivada de
. Usando regra da cadeia,
que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta. Pequena dica: sempre que houver
no expoente e também fora, a substituição
costuma ser a escolha mais eficiente.