Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx,
usando o método da substituição. Informação importante: a expressão envolve \sqrt{x}, portanto assumimos x>0 na região onde a integral é definida. O objetivo é encontrar uma primitiva (função cuja derivada é o integrando) e acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Breve explicação do método da substituição (intuição): se uma parte da integral pode ser escrita como u=g(x) e sua diferença diferencial du aparece (ou pode aparecer) multiplicando, então podemos trocar a variável x por u para simplificar a integral. Em termos práticos, fazemos uma mudança de variável:
u=g(x)\quad\Rightarrow\quad du=g'(x)\,dx.
Substituímos g(x) por u e dx por du/g'(x) (ou isolamos dx em função de du) e integramos em u. No final, voltamos para x substituindo u por g(x).

Passo 3

Escolha da substituição para este problema: note que aparece \sqrt{x} no expoente e também no denominador. Uma escolha natural é
u=\sqrt{x}.
Agora vamos relacionar du e dx. Como u=x^{1/2}, derivando obtemos
du=\frac{1}{2}x^{-1/2}\,dx=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx.
Isolando dx em função de du temos
dx=2\sqrt{x}\,du.

Passo 4

Fazer as substituições na integral. Primeiro observação: peguei a informação \sqrt{x} do integrando (está no enunciado). Substituindo u=\sqrt{x} e dx=2\sqrt{x}\,du em
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx
obtemos
\int \frac{e^{u}}{u}\cdot\bigl(2\sqrt{x}\,du\bigr).
Como \sqrt{x}=u, isso simplifica para
\int \frac{e^{u}}{u}\cdot(2u)\,du.

Passo 5

Simplificar o integrando em u:
\int \frac{e^{u}}{u}\cdot(2u)\,du=\int 2e^{u}\,du.
Agora é uma integral direta: a primitiva de e^{u} é e^{u}. Logo
\int 2e^{u}\,du=2e^{u}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável original x usando u=\sqrt{x}. Substituindo:
2e^{u}+C=2e^{\sqrt{x}}+C.
Essa é uma primitiva do integrando original.

Passo 7

Verificação rápida (derivada da resposta): calcular a derivada de 2e^{\sqrt{x}}+C. Usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(2e^{\sqrt{x}}\bigr)=2e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dx}(\sqrt{x})=2e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}},
que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta. Pequena dica: sempre que houver \sqrt{x} no expoente e também fora, a substituição u=\sqrt{x} costuma ser a escolha mais eficiente.

Resposta

2e^{\sqrt{x}}+C

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