Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando o método da substituição. Informação dada: integrando é
e devemos encontrar uma primitiva (mais a constante de integração).
Passo 2
Breve explicação do método da substituição (passo-a-passo conceitual).
- A ideia é escolher uma nova variável
que torne a integral mais simples. - Se fizermos
então . Em muitas integrais aparece uma parte cuja derivada também aparece (ou aparece multiplicando), aí podemos substituir. - Objetivo: reescrever toda a expressão em termos de
e , integrar em e depois voltar para .
Passo 3
Escolha da substituição e razão.
- Observe o integrando
: aparece no denominador e multiplicando separamos: . - A derivada de
é . Isso sugere a substituição
porque então
, que aparece no integrando.
Passo 4
Fazer a substituição explicitamente.
- Com
temos
- Substituindo na integral:
Passo 5
Integrar em
e explicar a forma do resultado.
- A integral de
é a função logarítmica com valor absoluto:
onde
é a constante de integração.
- Observação sobre o valor absoluto: usamos
porque a primitiva de precisa ser válida tanto para quanto para .
Passo 6
Voltar para a variável
e comentar domínio.
- Substituindo
de volta:
- Comentário sobre domínio: a expressão original exige
(pois está definido só para ) e (pois em o integrando tem singularidade). A forma é correta para . Para pode-se omitir as barras e escrever .
Passo 7
Verificação rápida (derivação da primitiva).
- Derivar
:
o que confirma que a primitiva está correta.