Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{d x}{x \ln x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{x \ln x}
usando o método da substituição. Informação dada: integrando é \dfrac{1}{x\ln x} e devemos encontrar uma primitiva (mais a constante de integração).

Passo 2

Breve explicação do método da substituição (passo-a-passo conceitual).
  • A ideia é escolher uma nova variável u que torne a integral mais simples.
  • Se fizermos \;u=g(x)\; então du=g'(x)\,dx. Em muitas integrais aparece uma parte cuja derivada também aparece (ou aparece multiplicando), aí podemos substituir.
  • Objetivo: reescrever toda a expressão em termos de u e du, integrar em u e depois voltar para x.

Passo 3

Escolha da substituição e razão.
  • Observe o integrando \dfrac{1}{x\ln x}: aparece \ln x no denominador e 1/x multiplicando dx separamos: \dfrac{1}{x\ln x}dx=\dfrac{1}{\ln x}\cdot\frac{dx}{x}.
  • A derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}. Isso sugere a substituição
u=\ln x,
porque então du=\dfrac{1}{x}\,dx, que aparece no integrando.

Passo 4

Fazer a substituição explicitamente.
  • Com u=\ln x temos
du=\frac{1}{x}\,dx\quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x}=du.
  • Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{x\ln x}=\int \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{dx}{x}=\int \frac{1}{u}\,du.

Passo 5

Integrar em u e explicar a forma do resultado.
  • A integral de \dfrac{1}{u} é a função logarítmica com valor absoluto:
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C,
onde C é a constante de integração.
  • Observação sobre o valor absoluto: usamos |u| porque a primitiva de 1/u precisa ser válida tanto para u>0 quanto para u<0.

Passo 6

Voltar para a variável x e comentar domínio.
  • Substituindo u=\ln x de volta:
\int \frac{dx}{x\ln x}=\ln\bigl|\ln x\bigr|+C.
  • Comentário sobre domínio: a expressão original exige x>0 (pois \ln x está definido só para x>0) e x\neq1 (pois em x=1 o integrando tem singularidade). A forma \ln|\ln x| é correta para x\in(0,1)\cup(1,\infty). Para x>1 pode-se omitir as barras e escrever \ln(\ln x)+C.

Passo 7

Verificação rápida (derivação da primitiva).
  • Derivar \ln|\ln x|:
\frac{d}{dx}\ln\bigl|\ln x\bigr|=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\ln\bigl|\ln x\bigr|+C

Exercícios relacionados