Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int 2 x \cdot \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo, usando o método da substituição:
\int 2 x \cdot \cos\left(x^{2}\right)\,d x.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é 2x\cos\!\left(x^{2}\right).
  • Deve-se fornecer uma primitiva (antiderivada) da função, isto é, a integral indefinida com a constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática e sem pular etapas). Quando dentro de uma função composta aparece uma expressão g(x) e junto aparece sua derivada g'(x) ou um múltiplo dela, é conveniente trocar a variável para u=g(x). Formalmente, se fizermos
u = g(x),
então
d u = g'(x)\,d x.
Esse d u substitui o pedaço g'(x)\,d x na integral, transformando uma integral em x numa integral em u, muitas vezes mais simples. No nosso caso observe a presença de \cos\!\left(x^{2}\right) (uma função composta com g(x)=x^{2}) e do fator 2x que é exatamente a derivada de x^{2}. Isso é um sinal claro de que a substituição é adequada.

Passo 3

Aplicando a substituição explicitamente:
Escolha
u = x^{2}.
Calcule d u:
d u = 2x\,d x.
Note que o produto 2x\,d x aparece exatamente na integral original, portanto podemos substituir:
\int 2 x \cdot \cos\left(x^{2}\right)\,d x = \int \cos(u)\,d u.
Aqui foi feita a troca completa: x^{2} virou u e 2x\,d x virou d u.

Passo 4

Agora integramos em u. Sabendo que a derivada de \sin é \cos, a antiderivada de \cos(u) é \sin(u). Em termos formais:
\int \cos(u)\,d u = \sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Volta para a variável original x substituindo u = x^{2}:
\sin(u) + C = \sin\left(x^{2}\right) + C.
Para ter certeza de que está correto, fazemos um chequinho rápido (verificação): derivando \sin\left(x^{2}\right) pelo método da cadeia:
\frac{d}{d x}\sin\left(x^{2}\right) = \cos\left(x^{2}\right)\cdot 2x,
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\sin\left(x^{2}\right)+C

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