Questão 1. Utilize o método da substituição e calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo, usando o método da substituição:
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - Deve-se fornecer uma primitiva (antiderivada) da função, isto é, a integral indefinida com a constante de integração
.
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática e sem pular etapas). Quando dentro de uma função composta aparece uma expressão
e junto aparece sua derivada
ou um múltiplo dela, é conveniente trocar a variável para
. Formalmente, se fizermos
então
Esse
substitui o pedaço
na integral, transformando uma integral em
numa integral em
, muitas vezes mais simples. No nosso caso observe a presença de
(uma função composta com
) e do fator
que é exatamente a derivada de
. Isso é um sinal claro de que a substituição é adequada.
Passo 3
Aplicando a substituição explicitamente:
Escolha
Escolha
Calcule
:
Note que o produto
aparece exatamente na integral original, portanto podemos substituir:
Aqui foi feita a troca completa:
virou
e
virou
.
Passo 4
Agora integramos em
. Sabendo que a derivada de
é
, a antiderivada de
é
. Em termos formais:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Volta para a variável original
substituindo
:
Para ter certeza de que está correto, fazemos um chequinho rápido (verificação): derivando
pelo método da cadeia:
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.