Questão #2 (valor 5,0/10,0 pontos)

Uma máquina de 150 kg de massa com um desbalanceamento rotativo de 0.5 \mathrm{~kg} . \mathrm{m}, é montada no meio do vão de uma viga simplesmente apoiada de 2 m de comprimento. A máquina opera a una velocidade de 1200 rpm . A viga tem um módulo de elasticidade de 210 \times 10^{9} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{c} um momento de inércia da seção transversal de 2,1 \times 10^{6} \mathrm{~m}^{4}. ( k=48 \mathrm{EI} / \mathrm{L}^{3}; rigidez à flexão com carregamento aplicado no centro da viga). Determine:
(a) Qual a amplitude de vibração, no estado estacionário, da viga (sistema primário)?
(b) Projete um absorvedor dinâmico de vibração tal que, quando instalado no meio do vāo do viga, as vibrações da viga cessem e a amplitude de oscilação do absorvedor seja inferior a 20 min.
(c) Quais são as novas frequências naturais do sistema resultante, com o absorvedor acoplado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • massa da máquina (massa concentrada no meio do vão): M=150\\ \mathrm{kg}.
  • desbalanceamento rotativo (momento de inércia estático do desbalanceamento): U=0,5\\ \mathrm{kg\cdot m}. Observação: aqui U representa o produto m_r e (massa excêntrica vezes excentricidade); a força excitante terá amplitude F_0=U\omega^2.
  • velocidade de rotação: 1200\\ \mathrm{rpm}.
  • viga simplesmente apoiada, comprimento L=2\\ \mathrm{m}.
  • módulo de elasticidade: E=210\times 10^{9}\\ \mathrm{N/m^2}.
  • momento de inércia da seção: I=2{,}1\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^4}.
  • rigidez equivalente da viga para carregamento no centro (dado): k=\dfrac{48EI}{L^{3}}.
O enunciado pede:
(a) amplitude de vibração no estado estacionário da viga (sistema primário) quando excitada pelo desbalanceamento;
(b) projetar um absorvedor dinâmico montado no meio do vão que faça cessar as vibrações da viga e tal que a amplitude do absorvedor seja inferior a 20\\ \mathrm{mm};
(c) determinar as novas frequências naturais do sistema com o absorvedor acoplado.

Passo 2

Calcular parâmetros básicos da estrutura (rigidez e frequência natural do sistema primário).
  1. Converter a velocidade de rotação para rad/s:
\text{velocidade em Hz}=\frac{1200}{60}=20\\ \mathrm{Hz}, \qquad \omega=2\pi\cdot 20=125{,}6637061\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Calcular EI:
EI=E\cdot I=(210\times 10^{9})\cdot(2{,}1\times 10^{-6})=441{,}000\\ \mathrm{N\cdot m^2}.
  1. Calcular a rigidez da viga usando k=\dfrac{48EI}{L^{3}}:
L^{3}=2^{3}=8\\ \mathrm{m^3}, \qquad k=\frac{48\cdot 441{,}000}{8}=6\cdot 441{,}000=2{,}646{,}000\\ \mathrm{N/m}.
  1. Frequência natural não amortecida do sistema massa-rigidez (sistema primário):
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{M}}=\sqrt{\frac{2{,}646{,}000}{150}}=\sqrt{17{,}640}=132{,}840\\ \text{(aprox.)}\\ \mathrm{rad/s}.
(mais precisamente \omega_n\approx 132{,}84\\ \mathrm{rad/s}). Converter para frequência em Hz:
f_n=\frac{\omega_n}{2\pi}\approx\frac{132{,}84}{2\pi}\approx 21{,}15\\ \mathrm{Hz}.
Comentário didático rápido: a máquina gira a 20\\ \mathrm{Hz} e a frequência natural do conjunto massa-viga é 21{,}15\\ \mathrm{Hz}. Isso significa que a excitação está muito próxima da ressonância, por isso a amplitude pode ficar grande.

Passo 3

Determinar a amplitude de vibração no estado estacionário do sistema primário (sem absorvedor) — teoria e aplicação numérica.
Teoria passo a passo:
  • A força excitante provocada pelo desbalanceamento rotativo tem amplitude
F_0 = U\,\omega^{2},
onde U=m_r e (no enunciado U=0,5\\ \mathrm{kg\cdot m}) e \omega é a pulsação de excitação.
  • Para um sistema massa-rigidez sem amortecimento forçado harmonicamente com frequência \omega, a amplitude de regime (deslocamento harmônico) é, no caso sem amortecimento, dada por
X=\frac{F_0/k}{\left|1-\left(\dfrac{\omega}{\omega_n}\right)^{2}\right|}.
Aqui F_0/k é a deflexão estática sob a força F_0 e o fator \big|1-(\omega/\omega_n)^2\big|^{-1} é o fator de amplificação dinâmica para sistema não amortecido (quando \omega se aproxima de \omega_n esse fator cresce).
Aplicando numericamente:
  1. Calcular F_0:
F_0=U\,\omega^{2}=0{,}5\cdot(125{,}6637)^{2}=0{,}5\cdot 15{,}791{,}367\approx 7{,}895{,}685\\ \mathrm{N}.
  1. Deflexão estática associada:
\delta_{\text{est}}=\frac{F_0}{k}=\frac{7{,}895{,}685}{2{,}646{,}000}\approx 0{,}002985\\ \mathrm{m}.
  1. razão de frequência:
r=\frac{\omega}{\omega_n}=\frac{125{,}6637}{132{,}84}\approx 0{,}946, \qquad 1-r^{2}\approx 1-0{,}946^{2}\approx 0{,}1059.
  1. amplitude dinâmica:
X=\frac{\delta_{\text{est}}}{|1-r^{2}|}=\frac{0{,}002985}{0{,}1059}\approx 0{,}02818\\ \mathrm{m}=28{,}18\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: sem absorvedor, a viga vibrará com amplitude aproximadamente 28{,}2\\ \mathrm{mm} (valor razoavelmente grande, consequência da proximidade à ressonância).

Passo 4

Projeto do absorvedor dinâmico de vibração (teoria, condição de anulação e projeto numérico).
Teoria e ideia chave:
  • Um absorvedor dinâmico consiste em uma massa m_a ligada à massa principal por uma mola de rigidez k_a. Montado no mesmo ponto de aplicação da força, se o absorvedor for sintonizado para ter frequência natural igual à frequência de excitação (isto é, \omega_a=\omega), então, no caso ideal sem amortecimento do sistema, a amplitude do sistema primário torna-se zero (anulação dinâmica). Essa é a propriedade clássica do absorvedor sintonizado (caso ideal).
  • Em regime harmônico e com sintonia exata \omega_a=\omega verifica-se matematicamente que a amplitude do sistema principal X=0 e a amplitude do absorvedor X_a vale
X_a=\frac{F_0}{k_a}.
  • Como k_a=m_a\omega^{2} (sintonia), podemos escrever
X_a=\frac{F_0}{m_a\omega^{2}}=\frac{U\omega^{2}}{m_a\omega^{2}}=\frac{U}{m_a}.
Portanto, a amplitude do absorvedor depende só da razão entre o desbalanceamento U e a massa do absorvedor m_a. Isso é uma simplificação muito útil!
Projeto numérico para atender a restrição X_a<20\\ \mathrm{mm}=0{,}02\\ \mathrm{m}:
  • A condição X_a\le 0{,}02
\frac{U}{m_a}\le 0{,}02 \quad\Rightarrow\quad m_a\ge \frac{U}{0{,}02}=\frac{0{,}5}{0{,}02}=25\\ \mathrm{kg}.
Logo a massa mínima do absorvedor é 25\\ \mathrm{kg}. Para ter margem de segurança, escolhe-se um pouco maior; por exemplo escolherei m_a=30\\ \mathrm{kg}.
Com m_a=30\\ \mathrm{kg} e sintonia \omega_a=\omega:
k_a=m_a\omega^{2}=30\cdot(125{,}6637)^{2}=30\cdot 15{,}791{,}367\approx 473{,}741{,}0\\ \mathrm{N/m}.
Amplitude do absorvedor:
X_a=\frac{U}{m_a}=\frac{0{,}5}{30}\approx 0{,}016667\\ \mathrm{m}=16{,}67\\ \mathrm{mm}<20\\ \mathrm{mm},
atendendo à restrição.
Resumo do projeto prático:
  • massa do absorvedor: m_a=30\\ \mathrm{kg} (mínimo teórico 25\\ \mathrm{kg});
  • rigidez do elemento elástico do absorvedor: k_a\approx 4{,}73741\times 10^{5}\\ \mathrm{N/m};
  • sintonia: \omega_a=\omega=125{,}6637\\ \mathrm{rad/s} (isto é, f_a=20\\ \mathrm{Hz}).
Observação prática: em um projeto real adiciona-se amortecimento suficiente para evitar sensibilidade extrema à pequena desintonia; aqui tratamos do caso idealizado pedido.

Passo 5

Determinar as novas frequências naturais do sistema massa principal + absorvedor (sistema acoplado, 2 graus de liberdade).
Modelo e equações:
  • Sistema com massas M e m_a e rigidezes k (para M à base) e k_a (ligando M a m_a).
  • A equação característica para as pulsacoes naturais \omega (não as de excitação, mas as próprias do sistema acoplado) obtém-se da condição determinantal; ela leva à equação quadrática em \lambda=\omega^{2}:
\det\begin{vmatrix} k+k_a-M\lambda & -k_a \\[4pt] -k_a & k_a-m_a\lambda \end{vmatrix}=0.
Expandindo chega-se a:
(k+k_a-M\lambda)(k_a-m_a\lambda)-k_a^{2}=0.
Aplicando os valores escolhidos ( M=150\\ \mathrm{kg}, k=2{,}646{,}000\\ \mathrm{N/m}, m_a=30\\ \mathrm{kg}, k_a=473{,}741{,}0\\ \mathrm{N/m}) e resolvendo passo a passo:
  1. Definir \lambda=\omega^{2}. Substituindo:
(3{,}119{,}741{,}1-150\lambda)(473{,}741{,}0-30\lambda)-473{,}741{,}0^{2}=0,
onde 3{,}119{,}741{,}1=k+k_a.
  1. Expandindo e simplificando (os termos se organizam) obtém-se uma equação quadrática em \lambda (apresento os coeficientes numéricos já obtidos):
4{,}500\,\lambda^{2}-164{,}653{,}398\,\lambda+1{,}253{,}518{,}951{,}0\times 10^{0}=0.
Dividindo por 4{,}500 e resolvendo a quadrática obtemos os dois valores de \lambda:
\lambda_{1}\approx 25{,}787{,}537\\ \mathrm{(rad^2/s^2)},\qquad \lambda_{2}\approx 10{,}802{,}107\\ \mathrm{(rad^2/s^2)}.
  1. Tomando raízes quadradas para obter as pulsações:
\omega_{1}=\sqrt{\lambda_{1}}\approx 160{,}61\\ \mathrm{rad/s}, \qquad \omega_{2}=\sqrt{\lambda_{2}}\approx 103{,}95\\ \mathrm{rad/s}.
  1. Converter para frequências em Hz:
f_{1}=\frac{\omega_{1}}{2\pi}\approx\frac{160{,}61}{2\pi}\approx 25{,}57\\ \mathrm{Hz}, \qquad f_{2}=\frac{\omega_{2}}{2\pi}\approx\frac{103{,}95}{2\pi}\approx 16{,}54\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação: a presença do absorvedor divide a frequência natural original do sistema primário ( \sim 21{,}15\\ \mathrm{Hz}) em duas frequências próximas, uma acima e outra abaixo, isto é um efeito normal de acoplamento (split de modos).]

Resposta

(a) X\approx 0{,}02818\\ \mathrm{m} (aprox. 28{,}18\\ \mathrm{mm}).
(b) Massa mínima do absorvedor m_a=25\\ \mathrm{kg}. Escolhendo m_a=30\\ \mathrm{kg} (margem de segurança) obtém-se k_a\approx 4{,}73741\times 10^{5}\\ \mathrm{N/m} e amplitude do absorvedor X_a\approx 0{,}016667\\ \mathrm{m}=16{,}67\\ \mathrm{mm}<20\\ \mathrm{mm}.
(c) Novas frequências naturais do sistema acoplado: f_{1}\approx 25{,}57\\ \mathrm{Hz} e f_{2}\approx 16{,}54\\ \mathrm{Hz}.

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