Questão 2 (Valor 2.5) Considere uma entrada x[n] e uma resposta ao impulso
x[n]=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} u[n-2] \text { e } h[n]=u[n+2]
Determine e represente graficamente a saída y[n]=x[n] * h[n].

Passo 1

O enunciado dá as duas sequências discretas e pede a saída convoluída e sua representação gráfica. Dados fornecidos:
  • x[n]=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} u[n-2].
  • h[n]=u[n+2].
    O que se pede:
  • Determinar y[n]=x[n]*h[n].
  • Representar graficamente y[n] (isto é, indicar suporte e alguns valores para esboçar o stem plot).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é cada peça e a definição de convolução discreta.
Definição de convolução discreta:
y[n]=(x*h)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].
Aqui a soma é sobre todos os inteiros k, mas na prática só contribuem os k em que ambos x[k] e h[n-k] são não nulos.
Definição do degrau unitário:
u[n]=\begin{cases}1, & n\ge 0,\\\\ 0, & n<0.\end{cases}
Logo:
u[k-2]=1\\ \text{se e somente se}\\ k\ge 2, \qquad u[n-k+2]=1\\ \text{se e somente se}\\ n-k+2\ge 0 \Leftrightarrow k\le n+2.

Passo 3

Agora substituímos x[k] e h[n-k] na soma de convolução:
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-2} u[k-2]\; u[n-k+2].
Pelo raciocínio do passo anterior, um termo da soma é não nulo somente quando simultaneamente
k\ge 2 \quad\text{e}\quad k\le n+2.
Portanto os limites efetivos da soma são
k=2,3,4,\dots,n+2,
desde que n+2\ge 2, isto é, n\ge 0. Se n<0 então n+2<2 e não há k inteiros satisfazendo 2\le k\le n+2, logo a soma é vazia e y[n]=0 para n<0.
Resumo até aqui:
y[n]=0\quad\text{para}\quad n<0,
e para n\ge 0
y[n]=\sum_{k=2}^{\,n+2}\left(\frac{1}{2}\right)^{k-2}.

Passo 4

Facilitamos a soma com a mudança de variável \;m=k-2\;. Quando k varia de 2 até n+2, m varia de 0 até n. Assim, para n\ge 0:
y[n]=\sum_{m=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{m}.

Passo 5

Agora usamos a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica. Lembrete (fórmula e explicação):
Se r é razão e N inteiro não negativo, então
\sum_{m=0}^{N} r^{m}=\frac{1-r^{N+1}}{1-r},
onde r\neq 1. Aqui cada termo é r^{m}; a fórmula vem de multiplicar a soma por (1-r) e simplificar — vou mostrar rápido:
S=\sum_{m=0}^{N} r^m \Rightarrow rS=\sum_{m=0}^{N} r^{m+1}=\sum_{m=1}^{N+1} r^m,
então S-rS=1-r^{N+1} e assim S=(1-r^{N+1})/(1-r).
Aplicando com r=\dfrac{1}{2} e N=n:
y[n]=\frac{1-(\tfrac{1}{2})^{\,n+1}}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1-(\tfrac{1}{2})^{\,n+1}}{\tfrac{1}{2}}=2\left(1-\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right).
Simplificando o segundo termo:
2\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n+1}=2\cdot 2^{-(n+1)}=2^{-n},
logo uma forma muito simples é
y[n]=2-2^{-n},\qquad n\ge 0.

Passo 6

Juntando as duas partes (caso n<0\) e \(n\ge 0\)), obtemos a expressão final em forma peça-a-peça: \[y[n]=\begin{cases} 0, & n<0,\\[4pt] 2-2^{-n}, & n\ge 0. \end{cases}
Alternativamente poderíamos escrever (y[n]=(2-2^{-n}),u[n]].]

Passo 7

Para ajudar no desenho, calculemos alguns valores iniciais (frações e decimais fáceis):
\begin{aligned} y[0]&=2-2^{0}=2-1=1,\\\ y[1]&=2-2^{-1}=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}=1{,}5,\\\ y[2]&=2-2^{-2}=2-\tfrac{1}{4}=\tfrac{7}{4}=1{,}75,\\\ y[3]&=2-2^{-3}=2-\tfrac{1}{8}=1{,}875. \end{aligned}
Repara que y[n] é crescente para n\ge 0 e se aproxima de 2 quando n\to\infty.

Passo 8

Como representar graficamente (esqueleto para o stem plot):
  • Eixo horizontal: n\in\mathbb{Z}.
  • Para n<0: pontos zero (linha de zeros).
  • Para n=0,1,2,\dots: plota-se pontos com alturas dadas por y[0]=1, y[1]=1{,}5, y[2]=1{,}75, y[3]=1{,}875, …; pontos se aproximando de 2.
  • Ligue visualmente cada ponto com um “stem” vertical (gráfico discreto). Não há valores para n negativos além de zero.

Passo 9

Checagem rápida do comportamento limite:
\lim_{n\to\infty} y[n]=\lim_{n\to\infty}\left(2-2^{-n}\right)=2,
confirmando que a sequência converge para 2, começando em 1 em n=0 e subindo geometricamente.

Resposta

y[n]=\begin{cases} 0, & n<0,\\[4pt] 2-2^{-n}, & n\ge 0. \end{cases}]

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