Questão 2 (Valor 2.5) Considere uma entrada
e uma resposta ao impulso
Determine e represente graficamente a saída
.
Passo 1
O enunciado dá as duas sequências discretas e pede a saída convoluída e sua representação gráfica. Dados fornecidos:
-
. -
.
O que se pede: - Determinar
. - Representar graficamente
(isto é, indicar suporte e alguns valores para esboçar o stem plot).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é cada peça e a definição de convolução discreta.
Definição de convolução discreta:
Aqui a soma é sobre todos os inteiros
, mas na prática só contribuem os
em que ambos
e
são não nulos.
Definição do degrau unitário:
Logo:
Passo 3
Agora substituímos
e
na soma de convolução:
Pelo raciocínio do passo anterior, um termo da soma é não nulo somente quando simultaneamente
Portanto os limites efetivos da soma são
desde que
, isto é,
. Se
então
e não há
inteiros satisfazendo
, logo a soma é vazia e
para
.
Resumo até aqui:
e para
Passo 4
Facilitamos a soma com a mudança de variável
. Quando
varia de
até
,
varia de
até
. Assim, para
:
Passo 5
Agora usamos a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica. Lembrete (fórmula e explicação):
Se é razão e
inteiro não negativo, então
Se
onde
. Aqui cada termo é
; a fórmula vem de multiplicar a soma por
e simplificar — vou mostrar rápido:
então
e assim
.
Aplicando com
e
:
Simplificando o segundo termo:
logo uma forma muito simples é
Passo 6
Juntando as duas partes (caso
Alternativamente poderíamos escrever (y[n]=(2-2^{-n}),u[n]].]
Passo 7
Para ajudar no desenho, calculemos alguns valores iniciais (frações e decimais fáceis):
Repara que
é crescente para
e se aproxima de
quando
.
Passo 8
Como representar graficamente (esqueleto para o stem plot):
- Eixo horizontal:
. - Para
: pontos zero (linha de zeros). - Para
: plota-se pontos com alturas dadas por , , , , …; pontos se aproximando de . - Ligue visualmente cada ponto com um “stem” vertical (gráfico discreto). Não há valores para
negativos além de zero.
Passo 9
Checagem rápida do comportamento limite:
confirmando que a sequência converge para
, começando em
em
e subindo geometricamente.