Questão 3 (Valor 2.5) Determine quais das propriedades: Sem memória, Invariante no tempo, Linear, Causal ou Estável são válidas e quais não são para cada um dos sistemas a seguir. Justifique suas respostas. Em cada exemplo, y(t) / y[n] representa a saída do sistema, e x(t)/x[n] é a entrada do sistema.
y[n]=x[4 n+1]

Passo 1

O enunciado dá um sistema discreto cuja relação entrada-saída é
y[n]=x[4n+1].
O que me pediram: decidir, com justificativa, se o sistema é
  • Sem memória (memoryless),
  • Invariante no tempo (time-invariant),
  • Linear,
  • Causal,
  • Estável (BIBO stable).
Vou listar claramente: a entrada é x[\cdot], a saída é y[\cdot] e o índice usado na entrada é 4n+1. A resolução a seguir vai definir cada propriedade, mostrar o teste que usamos e aplicar esse teste ao sistema acima.

Passo 2

Definição: Um sistema discreto é sem memória se, para todo índice n, a saída y[n] depende apenas do valor da entrada no mesmo instante n; isto é, depende só de x[n] (e não de x[k] com k\neq n).
Como testar: verificar se existe dependência de x em índices diferentes de n.
Aplicação ao sistema:
y[n]=x[4n+1].
Aqui y[n] depende de x no índice 4n+1. Esse índice é, em geral, diferente de n. Por exemplo, para n=0 tem-se y[0]=x[1] (depende de x em 1, não em 0); para n=1, y[1]=x[5]. Como a saída usa valores de x em instantes diferentes de n, o sistema armazena/consulta outros instantes da entrada: tem memória.
Conclusão do teste: o sistema NÃO é sem memória (ou seja, tem memória).

Passo 3

Definição: Um sistema T é invariante no tempo se, para qualquer entrada x[n] e qualquer deslocamento inteiro n_0, vale
T\{x[n-n_0]\}[n] = T\{x\}[n-n_0].
Em palavras: atrasar a entrada por n_0 é o mesmo que atrasar a saída por n_0.
Teste algébrico:
  • Primeiro calculo T\{x[n-n_0]\}[n]. Substituindo a entrada atrasada na fórmula do sistema:
T\{x[n-n_0]\}[n] = (x[n-n_0])\big|_{n \leftarrow 4n+1} = x[4n+1 - n_0].
(Explicando: aplico a regra 4n+1 sobre a variável interna do argumento da entrada atrasada.)
  • Agora calculo T\{x\}[n-n_0]:
T\{x\}[n-n_0] = y[n-n_0] = x\big(4(n-n_0)+1\big) = x[4n - 4n_0 +1].
Comparando:
x[4n+1 - n_0]\quad\text{versus}\quad x[4n - 4n_0 +1].
Esses dois índices só são iguais para todo n se -n_0 = -4n_0, ou seja, se n_0=0. Para deslocamentos não nulos em geral não coincidem, portanto a igualdade exigida pela invariância no tempo falha.
Exemplo numérico simples (ilustrativo): tome n_0=1 e qualquer sinal x[\cdot] tal que x[4]\neq x[1]. Então
T\{x[n-1]\}[1] = x[4\cdot 1 +1 -1] = x[4],
enquanto
T\{x\}[1-1] = x[4\cdot 0 +1] = x[1],
e x[4] pode ser diferente de x[1], mostrando a não-invariância.
Conclusão do teste: o sistema NÃO é invariante no tempo.

Passo 4

Definição: Um sistema é linear se satisfaz superposição e homogeneidade; formalmente, para quaisquer sinais x_1[n], x_2[n] e quaisquer escalares a,b,
T\{a x_1[n] + b x_2[n]\}[n] = a\,T\{x_1\}[n] + b\,T\{x_2\}[n].
Teste algébrico:
Começo calculando a saída quando a entrada é a x_1[n] + b x_2[n]:
T\{a x_1 + b x_2\}[n] = (a x_1 + b x_2)\big|_{4n+1} = a\,x_1[4n+1] + b\,x_2[4n+1].
Mas x_1[4n+1]=T\{x_1\}[n] e x_2[4n+1]=T\{x_2\}[n]. Então
T\{a x_1 + b x_2\}[n] = a\,T\{x_1\}[n] + b\,T\{x_2\}[n].
A igualdade é exata para quaisquer a,b,x_1,x_2.
Conclusão do teste: o sistema É linear.

Passo 5

Definição: Um sistema é causal se, para todo n, a saída y[n] depende somente de valores da entrada em instantes k tais que k\le n. Em termos práticos: no tempo real, a saída naquele instante não pode usar valores futuros da entrada.
Aplicação ao sistema:
y[n]=x[4n+1].
Para avaliar se 4n+1 \le n para todo n (condição necessária para cada saída depender só do passado e do presente), resolvo a desigualdade:
4n+1 \le n \;\Longrightarrow\; 3n \le -1 \;\Longrightarrow\; n \le -\tfrac{1}{3}.
Isto mostra que para a maioria dos índices n (por exemplo n=0,1,2,\dots) temos 4n+1>n: a saída em n depende de x em um índice maior que n, ou seja, de valores futuros.
Exemplo simples e direto: em n=0,
y[0] = x[4\cdot 0 +1] = x[1],
que usa o valor de x no instante 1, que é futuro em relação a 0. Assim, se o sistema estivesse operando em tempo real no instante n=0, seria necessário conhecer x[1] para calcular y[0] — impossível para um sistema causal.
Conclusão do teste: o sistema NÃO é causal.

Passo 6

Definição (BIBO): Um sistema é BIBO estável se toda entrada limitada gera uma saída limitada. Formalmente, se existe M_x<\infty tal que |x[n]|\le M_x para todo n, então deve existir M_y<\infty com |y[n]|\le M_y para todo n.
Aplicação ao sistema: suponha que a entrada seja limitada, isto é, exista M com
|x[k]| \le M \quad\text{para todo }k.
Então para qualquer n,
|y[n]| = |x[4n+1]| \le M,
porque 4n+1 é apenas algum índice inteiro e por hipótese todos os elementos de x têm magnitude no máximo M. Assim a saída é também limitada por M. Podemos tomar M_y = M.
Conclusão do teste: o sistema É BIBO estável.

Resposta

Sem memória: não
Invariante no tempo: não
Linear: sim
Causal: não
Estável: sim

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