Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f(t) = (8 t-8)[u(t-1)-u(t-2)] + (24-8 t)[u(t-2)-u(t-4)] + (8 t-40)[u(t-4)-u(t-5)]
f(t) = (8 t-8)[u(t-1)-u(t-2)] + (24-8 t)[u(t-2)-u(t-4)] + (8 t-40)[u(t-4)-u(t-5)]
Passo 1
O enunciado dá a função por partes (com funções degrau) e pede a transformada de Laplace de
. Vou listar claramente o que está dado e o que se quer:
- A função é
- O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace
, ou seja a função de obtida por
- Informações úteis que já se vê no enunciado:
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em outros
: (implícito pelas diferenças de degrau).
- Em
Passo 2
Vou lembrar as ferramentas que vou usar (com explicação didática):
- Definição da transformada de Laplace:
Aqui
é a variável complexa (na prova normalmente
para convergência). Não é necessário avaliar integrais impraticáveis porque usaremos propriedades.
-
Linearidade:
. Ou seja podemos somar transformadas de parcelas. -
Transformadas básicas que vamos usar:
- Para o degrau deslocado:
Aqui é o degrau unitário que vale para e para . - Para um termo linear deslocado:
Isto vem de que e da propriedade de deslocamento no tempo. - Regra de deslocamento no tempo (time-shifting): se
, então . No nosso caso, as funções em cada intervalo serão reescritas como funções de para aplicar estas fórmulas.
- Para o degrau deslocado:
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo às parcelas que compõem
.
Passo 3
Reescrever cada parcela como função de
multiplicada por degraus, para usar o deslocamento:
- Primeira parcela (entre
e ):
Explicação rápida:
, e isso é natural pois no intervalo
o natural é trabalhar com
.
- Segunda parcela (entre
e ):
logo
Ou seja decompusemos em uma parte constante deslocada e uma parte linear deslocada.
- Terceira parcela (entre
e ):
logo
Agora cada termo tem a forma
ou
, possivelmente com diferenças de degrau para limitar o intervalo. Assim podemos aplicar diretamente as fórmulas do Passo 2.
Passo 4
Calcular a transformada da primeira parcela usando linearidade e deslocamento:
A primeira parcela é
, portanto sua transformada é
Usando
obtemos
Passo 5
Calcular a transformada da segunda parcela (decomposição feita no Passo 3):
Temos duas partes:
e
.
- Para a parte constante deslocada:
- Para a parte linear deslocada:
Somando as duas subpartes, a transformada total da segunda parcela é
Passo 6
Calcular a transformada da terceira parcela (de Passo 3):
Temos
.
- Para
:
- Para
:
Somando as duas subpartes, a transformada da terceira parcela é
Passo 7
Somar todas as contribuições (Passos 4, 5 e 6) e simplificar coletando termos com os mesmos fatores exponenciais.
Escrevendo todas as parcelas juntas:
- Da primeira parcela:
- Da segunda parcela:
- Da terceira parcela:
Agora somando termo a termo e agrupando por
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Portanto a transformada total é
Para ficar mais compacto, fatorando
:
Passo 8
Pequena verificação rápida (sanity check): cada termo tem dimensão
ou
multiplicada por expoente
, está coerente com transformadas de funções que são combinações de constantes e de termos lineares em intervalos deslocados. A expressão final é a soma das contribuições dos intervalos
.