Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:
f(t) = (8 t-8)[u(t-1)-u(t-2)] + (24-8 t)[u(t-2)-u(t-4)] + (8 t-40)[u(t-4)-u(t-5)]

Passo 1

O enunciado dá a função por partes (com funções degrau) e pede a transformada de Laplace de f(t). Vou listar claramente o que está dado e o que se quer:
  • A função é
f(t)=(8t-8)[u(t-1)-u(t-2)]+(24-8t)[u(t-2)-u(t-4)]+(8t-40)[u(t-4)-u(t-5)].
  • O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace \mathcal{L}\{f(t)\}(s), ou seja a função de s obtida por
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt.
  • Informações úteis que já se vê no enunciado:
    • Em 1\le t<2: f(t)=8t-8.
    • Em 2\le t<4: f(t)=24-8t.
    • Em 4\le t<5: f(t)=8t-40.
    • Em outros t\ge0: f(t)=0 (implícito pelas diferenças de degrau).

Passo 2

Vou lembrar as ferramentas que vou usar (com explicação didática):
  • Definição da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-st}\,dt.
Aqui s é a variável complexa (na prova normalmente s>0 para convergência). Não é necessário avaliar integrais impraticáveis porque usaremos propriedades.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}. Ou seja podemos somar transformadas de parcelas.
  • Transformadas básicas que vamos usar:
    • Para o degrau deslocado: \mathcal{L}\{u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s}. Aqui u(t-a) é o degrau unitário que vale 0 para t<a e 1 para t\ge a.
    • Para um termo linear deslocado: \mathcal{L}\{(t-a)u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s^{2}}. Isto vem de que \mathcal{L}\{t\}=1/s^{2} e da propriedade de deslocamento no tempo.
    • Regra de deslocamento no tempo (time-shifting): se g(t)=h(t-a)u(t-a), então \mathcal{L}\{g\}(s)=e^{-as}\mathcal{L}\{h(t)\}(s). No nosso caso, as funções em cada intervalo serão reescritas como funções de (t-a) para aplicar estas fórmulas.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo às parcelas que compõem f(t).

Passo 3

Reescrever cada parcela como função de (t-a) multiplicada por degraus, para usar o deslocamento:
  1. Primeira parcela (entre 1 e 2):
(8t-8)[u(t-1)-u(t-2)]=8(t-1)[u(t-1)-u(t-2)].
Explicação rápida: 8t-8=8(t-1), e isso é natural pois no intervalo t\ge1 o natural é trabalhar com (t-1).
  1. Segunda parcela (entre 2 e 4):
24-8t = 8 - 8(t-2),
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(24-8t)[u(t-2)-u(t-4)]=8\bigl[u(t-2)-u(t-4)\bigr] - 8(t-2)\bigl[u(t-2)-u(t-4)\bigr].
Ou seja decompusemos em uma parte constante deslocada e uma parte linear deslocada.
  1. Terceira parcela (entre 4 e 5):
8t-40 = 8(t-4)-8,
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(8t-40)[u(t-4)-u(t-5)]=8(t-4)\bigl[u(t-4)-u(t-5)\bigr] - 8\bigl[u(t-4)-u(t-5)\bigr].
Agora cada termo tem a forma C\cdot u(t-a) ou C\cdot (t-a)u(t-a), possivelmente com diferenças de degrau para limitar o intervalo. Assim podemos aplicar diretamente as fórmulas do Passo 2.

Passo 4

Calcular a transformada da primeira parcela usando linearidade e deslocamento:
A primeira parcela é 8(t-1)[u(t-1)-u(t-2)], portanto sua transformada é
8\mathcal{L}\{(t-1)u(t-1)\}-8\mathcal{L}\{(t-1)u(t-2)\}.
Usando \mathcal{L}\{(t-a)u(t-a)\}=\dfrac{e^{-as}}{s^{2}} obtemos
8\cdot \frac{e^{-s}}{s^{2}} - 8\cdot \frac{e^{-2s}}{s^{2}}.

Passo 5

Calcular a transformada da segunda parcela (decomposição feita no Passo 3):
Temos duas partes: 8[u(t-2)-u(t-4)] e -8(t-2)[u(t-2)-u(t-4)].
  • Para a parte constante deslocada:
8\mathcal{L}\{u(t-2)\}-8\mathcal{L}\{u(t-4)\}=8\left(\frac{e^{-2s}}{s}-\frac{e^{-4s}}{s}\right).
  • Para a parte linear deslocada:
-8\mathcal{L}\{(t-2)u(t-2)\}+8\mathcal{L}\{(t-2)u(t-4)\} = -8\cdot\frac{e^{-2s}}{s^{2}} + 8\cdot\frac{e^{-4s}}{s^{2}}.
Somando as duas subpartes, a transformada total da segunda parcela é
8\left(\frac{e^{-2s}}{s}-\frac{e^{-4s}}{s}\right) -8\left(\frac{e^{-2s}}{s^{2}}-\frac{e^{-4s}}{s^{2}}\right).

Passo 6

Calcular a transformada da terceira parcela (de Passo 3):
Temos 8(t-4)[u(t-4)-u(t-5)] - 8[u(t-4)-u(t-5)].
  • Para 8(t-4)[u(t-4)-u(t-5)]:
8\mathcal{L}\{(t-4)u(t-4)\} - 8\mathcal{L}\{(t-4)u(t-5)\} = 8\cdot\frac{e^{-4s}}{s^{2}} - 8\cdot\frac{e^{-5s}}{s^{2}}.
  • Para -8[u(t-4)-u(t-5)]:
-8\left(\frac{e^{-4s}}{s}-\frac{e^{-5s}}{s}\right) = -8\frac{e^{-4s}}{s} +8\frac{e^{-5s}}{s}.
Somando as duas subpartes, a transformada da terceira parcela é
8\left(\frac{e^{-4s}}{s^{2}}-\frac{e^{-5s}}{s^{2}}\right) -8\left(\frac{e^{-4s}}{s}-\frac{e^{-5s}}{s}\right).

Passo 7

Somar todas as contribuições (Passos 4, 5 e 6) e simplificar coletando termos com os mesmos fatores exponenciais.
Escrevendo todas as parcelas juntas:
  • Da primeira parcela:
8\frac{e^{-s}}{s^{2}} - 8\frac{e^{-2s}}{s^{2}}.
  • Da segunda parcela:
8\frac{e^{-2s}}{s}-8\frac{e^{-4s}}{s} -8\frac{e^{-2s}}{s^{2}} +8\frac{e^{-4s}}{s^{2}}.
  • Da terceira parcela:
8\frac{e^{-4s}}{s^{2}} -8\frac{e^{-5s}}{s^{2}} -8\frac{e^{-4s}}{s} +8\frac{e^{-5s}}{s}.
Agora somando termo a termo e agrupando por e^{-s},e^{-2s},e^{-4s},e^{-5s}:
  • Coeficiente de e^{-s}:
8\frac{1}{s^{2}}.
  • Coeficiente de e^{-2s}:
\left(8\frac{1}{s}\right) +\left(-8\frac{1}{s^{2}}-8\frac{1}{s^{2}}\right) =8\frac{1}{s} -16\frac{1}{s^{2}}.
  • Coeficiente de e^{-4s}:
\left(-8\frac{1}{s}-8\frac{1}{s}\right) +\left(8\frac{1}{s^{2}}+8\frac{1}{s^{2}}\right) = -16\frac{1}{s} +16\frac{1}{s^{2}}.
  • Coeficiente de e^{-5s}:
8\frac{1}{s} -8\frac{1}{s^{2}}.
Portanto a transformada total é
\mathcal{L}\{f\}(s) =8\frac{e^{-s}}{s^{2}} + e^{-2s}\!\left(8\frac{1}{s}-16\frac{1}{s^{2}}\right) + e^{-4s}\!\left(16\frac{1}{s^{2}}-16\frac{1}{s}\right) + e^{-5s}\!\left(8\frac{1}{s}-8\frac{1}{s^{2}}\right).
Para ficar mais compacto, fatorando 8:
\mathcal{L}\{f\}(s)=8\left(\frac{e^{-s}}{s^{2}} + e^{-2s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{2}{s^{2}}\Bigr) + e^{-4s}\Bigl(\frac{2}{s^{2}}-\frac{2}{s}\Bigr) + e^{-5s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}\Bigr)\right).

Passo 8

Pequena verificação rápida (sanity check): cada termo tem dimensão 1/s ou 1/s^{2} multiplicada por expoente e^{-as}, está coerente com transformadas de funções que são combinações de constantes e de termos lineares em intervalos deslocados. A expressão final é a soma das contribuições dos intervalos [1,2),[2,4),[4,5).

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=8\left(\frac{e^{-s}}{s^{2}} + e^{-2s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{2}{s^{2}}\Bigr) + e^{-4s}\Bigl(\frac{2}{s^{2}}-\frac{2}{s}\Bigr) + e^{-5s}\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s^{2}}\Bigr)\right)

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