O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas são:
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo de \ 3.000,00 e deve proporcionar um aumento de3 % nas vendas de cada produto, para cada$1.000,00$ investidos.
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada \ 1.000,00$ investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%.
A empresa dispõe de \ 10.000,00$ para esse empreendimento. Quanto deverá destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede, sem resolver nada ainda.
  • A empresa quer aumentar em 30\% as vendas de cada produto P1 e P2.
  • Há duas modalidades de investimento:
    • Programa institucional (chamarei de “programa”): requer investimento mínimo de \$3\,000,00 e proporciona um aumento de 3\% nas vendas de cada produto para cada \$1\,000,00 investidos.
    • Divulgação direta (chamarei de “direta”): cada \$1\,000,00 investidos em P1 aumentam as vendas de P1 em 4\%; cada \$1\,000,00 investidos em P2 aumentam as vendas de P2 em 10\%.
  • Orçamento total disponível: \$10\,000,00.
  • O enunciado pede: “Quanto deverá destinar a cada atividade?” e também “Construa o modelo do sistema descrito.” Ou seja, montar as equações que representam o problema e achar a alocação de recursos que atinge os aumentos desejados.
Informações relevantes extraídas do enunciado (resumidas):
  • Meta de aumento para P1: 30\%.
  • Meta de aumento para P2: 30\%.
  • Programa: mínimo \$3\,000,00; ganho por \$1\,000,00 é 3\% para cada produto.
  • Divulgação direta em P1: ganho 4\% por \$1\,000,00.
  • Divulgação direta em P2: ganho 10\% por \$1\,000,00.
  • Orçamento total: \$10\,000,00.

Passo 2

Definir variáveis (com unidades) e representação conveniente para trabalhar com números pequenos:
  • Seja x o valor (em milhares de dólares) destinado ao programa institucional. Assim, x=1 corresponde a \$1\,000,00. Então a restrição de mínimo de \$3\,000,00 vira x\ge 3.
  • Seja y_1 o valor (em milhares de dólares) destinado à divulgação direta de P1.
  • Seja y_2 o valor (em milhares de dólares) destinado à divulgação direta de P2.
  • O orçamento total \$10\,000,00 vira x+y_1+y_2 \le 10 (em milhares).
Explicação didática: escolher “em milhares” é só uma mudança de unidade que facilita a escrita dos coeficientes percentuais (pois os ganhos são dados por % por \$1\,000,00). Isso não altera o problema, apenas simplifica os números.

Passo 3

Construir o modelo (as equações) traduzindo o enunciado em matemática passo a passo.
  • Ganho percentual em P1\): - Do programa: cada \(1\) (isto é, \(\$1\,000,00\)) dá \(3\%\), então o programa dá \(3x\%\). - Da divulgação direta em \(P1\): cada \(1\) dá \(4\%\), então dá \(4y_1\%\). - Total em \(P1\): \(3x + 4y_1\) (em \%). - Meta: esse total deve ser pelo menos \(30\%\). Podemos modelar a meta como igualdade se quisermos gastar até alcançar exatamente \(30\%\) (normalmente, para saber quanto destinar para atingir a meta com igualdade, usamos igualdade). Assim: \[3x + 4y_1 = 30.
  • Ganho percentual em P2:
    • Do programa: 3x\%.
    • Da divulgação direta em P2: 10y_2\%.
    • Total em P2: 3x + 10y_2.
    • Meta:
    3x + 10y_2 = 30.
  • Restrição orçamentária (toda a verba está disponível \$10\,000,00, podemos supor que a empresa usará o orçamento para atingir a meta, então podemos colocar igualdade):
    x + y_1 + y_2 = 10.
  • Restrições de não-negatividade e mínimo do programa:
    x \ge 3,\qquad y_1 \ge 0,\qquad y_2 \ge 0.
Resumo do modelo (variáveis em milhares de dólares):
\begin{cases} 3x + 4y_1 = 30,\\[4pt] 3x + 10y_2 = 30,\\[4pt] x + y_1 + y_2 = 10,\\[4pt] x \ge 3,\; y_1\ge0,\; y_2\ge0. \end{cases}
Breve comentário didático: escolhemos igualdades nas metas e na soma do orçamento porque estamos procurando uma alocação que atinja exatamente os (30%] usando o orçamento disponível — se a empresa pretender gastar menos, teríamos desigualdades, mas aqui a formulação por igualdades permite encontrar a solução que usa o recurso para alcançar exatamente a meta.]

Passo 4

Resolver o sistema de equações passo a passo, explicando cada manipulação de forma que você possa refazer na prova.
Temos as duas primeiras equações:
3x + 4y_1 = 30 \tag{1}
3x + 10y_2 = 30 \tag{2}
Subtraindo (2) menos (1) eliminamos 3x:
(3x + 10y_2) - (3x + 4y_1) = 30 - 30,
o que dá
10y_2 - 4y_1 = 0.
Isolando y_1 em função de y_2:
4y_1 = 10y_2 \quad\Rightarrow\quad y_1 = \frac{10}{4}\,y_2 = 2{,}5\,y_2.
Explicação didática: quando temos duas equações com o mesmo termo 3x, subtrair uma da outra é uma forma simples de eliminar x e relacionar diretamente y_1 e y_2.
Agora usamos a restrição orçamentária
x + y_1 + y_2 = 10. \tag{3}
Substituímos y_1 = 2{,}5\,y_2 em (3):
x + 2{,}5\,y_2 + y_2 = 10 \quad\Rightarrow\quad x + 3{,}5\,y_2 = 10.
Isolando x:
x = 10 - 3{,}5\,y_2. \tag{4}
Agora substituímos (4) em (2) (ou em (1); tanto faz). Usarei (2):
3x + 10y_2 = 30.
Substituindo x de (4):
3\bigl(10 - 3{,}5\,y_2\bigr) + 10y_2 = 30.
Desenvolvendo:
30 - 10{,}5\,y_2 + 10y_2 = 30.
Simplificando o lado esquerdo:
30 - 0{,}5\,y_2 = 30.
Subtraindo 30 dos dois lados:
-0{,}5\,y_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad y_2 = 0.
Com y_2=0, obtemos y_1 = 2{,}5\cdot 0 = 0. Em seguida, de (3) ou (4):
x = 10 - 3{,}5\cdot 0 = 10.

Passo 5

Verificação das restrições e interpretação:
  • x = 10 (isto é, \$10\,000,00 para o programa institucional) satisfaz a restrição mínima x \ge 3.
  • y_1 = 0 e y_2 = 0 satisfazem y_1,y_2\ge0.
  • Conferir as metas percentuais:
    • Para P1: 3x + 4y_1 = 3\cdot 10 + 4\cdot 0 = 30\%. OK.
    • Para P2: 3x + 10y_2 = 3\cdot 10 + 10\cdot 0 = 30\%. OK.
  • A soma do orçamento: x+y_1+y_2 = 10+0+0 = 10, ou seja, usa-se todo o orçamento de \$10\,000,00.
Interpretação prática: investir todo o orçamento no programa institucional (mínimo exigido era \$3\,000,00, mas é permitido investir mais) já garante um aumento de 3\% por cada \$1\,000,00. Com \$10\,000,00 no programa temos 3\%\times 10 = 30\% para cada produto, logo não é necessário aplicar nada em divulgação direta.

Resposta

Programa institucional: \$10\,000,00
Divulgação direta em P1: \$0,00
Divulgação direta em P2: \$0,00

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